正交矩阵是什么样子的

Question

如题所述

Answer 1

正交矩阵定义：
正交矩阵是指方阵的行向量和列向量都是正交的单位向量。具体来说，对于一个\( n \times n \)的正交矩阵\( Q \)，它的每一行都是单位向量，且任意两行的内积为0。这意味着行向量之间相互垂直。
正交矩阵的性质：
1. 行向量都是单位向量，即每行的长度都为1。
2. 任意两行正交，即任意两行的内积为0。
3. 正交矩阵的转置等于其逆矩阵。
例如，对于一个3x3的正交矩阵：
\[ Q = \begin{bmatrix}
q_{11} & q_{12} & q_{13} \\
q_{21} & q_{22} & q_{23} \\
q_{31} & q_{32} & q_{33}
\end{bmatrix} \]
它的行向量都是正交的单位向量，且满足\( QQ^T = I \)（\( I \)是单位矩阵）。
正交矩阵的应用：
正交矩阵在几何和线性代数中非常重要。它们用于坐标变换，可以将一个向量从当前坐标系变换到另一个正交坐标系。例如，在三维空间中，一个3x3的正交矩阵可以表示一个旋转或反射变换。
扩展资料：
正交矩阵的定义可以推广到复数域。对于复数正交矩阵，行向量和列向量都是复单位向量，即它们的模长为1，且任意两行的内积为实数0。