（高考数学）若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，且满足g(x)=f(x-1)，求f(x)的周期

Question

若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，且满足g(x)=f(x-1)，求f(x)的周期

Answer 1

根据奇函数、偶函数定义和题设，显然有：
g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)=f(x+2-1)=g(x+2)=-g(-x-2)=-f(-x-2-1)=-f(-x-3)=-f(x+3)
同时g(-x)=-g(x)=-f(x-1)
因此，-f(x-1)=-f(x+3)，左右同乘以-1，令t=x-1，有f(t)=f(t+4)，根据周期定义，周期为4
反复利用性质来回变就行，注意要求周期一定让函数里面的x变成同号的才能求周期！

Answer 2

f(x)=g(x+1)
f(x+1)=g(x+2)
g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)=g(x+2)=-g(x) 用到了f(x)的偶函数和g(x)的奇函数性质
得到g(x)+g(x+2)=0 有f(x-1)+f(x+1)=0
f(x)+f(x+2)=0
那么有(fx+2)+f(x+4)=0
所以f(x)=f（x+4）
即f(x)的周期为4

Answer 3

解答如下：
1.因为g(x)是奇函数，f(x)是偶函数，则有：
g(x) = -g(-x)，f(x) =f(-x);
2. g(x)=f(x-1) —>
g(-x) = f(-x-1) = f(-(x+1)) = f(x+1)
-g(-x) =g(x)=-f(x+1),
所以：f(x-1)=-f(x+1),即f(x-1)+f(x+1)=0;
将x-1=y作置换有：f(y)+f(y+2)=0 –>
f(y)=-f(y+2)；
设y=x+2，代入上式，有
f(x+2)=-f(x+4)。因为有
f(x)+f(x+2)=0，代入上式则有:
f(x) - f(x+4) =0，即
f(x)=f(x+4）所以f(x)的周期是4。本回答被网友采纳