高中数学
集合、子集、补集、交集、并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一） 集合
1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为 ；
②空集是任何集合的子集，记为 ；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果 ，同时 ，那么A = B.
如果 .
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A= ，则CsA= {0}）
③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）.
3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
例： 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是 . （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B = ）
4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.
例：①若 应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
② .
解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2.
,故 是 的既不是充分，又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
3.例：若 .
4.集合运算：交、并、补.
5.主要性质和运算律
（1）包含关系：
（2）等价关系：
（3）集合的运算律：
交换律：
结合律:
分配律:.
0-1律：
等幂律：
求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U
反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
6.有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(3) card(UA)= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
（自右向左正负相间）
则不等式 的解可以根据各区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.
二次函数
（ ）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为 >0(或 <0)； ≥0(或 ≤0)的形式，
（2）转化为整式不等式（组）
3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法： ,与 型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若p q且q p,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构：
二、知识回顾：
（一） 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数 的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y) (y C)叫做函数 的反函数，记作 ,习惯上改写成
（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；
⑵若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
7. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
设（ ）为偶函数上一点，则（ ）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于 轴对称，例如： 在 上不是偶函数.
②满足 ，或 ，若 时， .
⑵奇函数：
设（ ）为奇函数上一点，则（ ）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如： 在 上不是奇函数.
②满足 ，或 ，若 时， .
8. 对称变换：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如：已知函数f（x）= 1+ 的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 .
解： 的值域是 的定义域 ， 的值域 ，故 ，而A ，故 .
11. 常用变换：
① .
证：
②
证：
12. ⑴熟悉常用函数图象：
例： → 关于 轴对称. → →
→ 关于 轴对称.
⑵熟悉分式图象：
例： 定义域 ，
值域 →值域 前的系数之比.
（三）指数函数与对数函数
指数函数 的图象和性质
a>1 0<a<1
图
象
性
质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1 (4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1.
（5）在 R上是增函数 （5）在R上是减函数
对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算：
（以上 ）
a>1 0<a<1
图
象
性
质 （1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0
（4） 时
时 y>0 时
时
（5）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
注⑴：当 时， .
⑵：当 时，取“+”，当 是偶数时且 时， ，而 ，故取“—”.
例如： 中x＞0而 中x∈R）.
⑵ （ ）与 互为反函数.
当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
（以上 ）
注⑴：当 时， .
⑵：当 时，取“+”，当 是偶数时且 时， ，而 ，故取“—”.
例如： 中x＞0而 中x∈R）.
⑵ （ ）与 互为反函数.
当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x ,x 是所研究区间内任两个自变量，且x ＜x ；②判定f(x )与f(x )的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学 第三章 数列
考试内容：
数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点
等差数列 等比数列
定义
递推公式 ； ；
通项公式 （ ）
中项 （ ） （ ）
前 项和
重要性质
1. ⑴等差、等比数列：
等差数列 等比数列
定义
通项公式 = +（n-1）d= +（n-k）d= + -d
求和公式
中项公式 A= 推广：2 = 。推广：
性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则 。
2 若 成A.P（其中 ）则 也为A.P。 若 成等比数列 （其中 ），则 成等比数列。
3 ． 成等差数列。 成等比数列。
4 ，
5
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2 ( )
③ ( 为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
② ( ， )①
注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即 a、b、c等比数列.
ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 且 →为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③ ( 为非零常数).
④正数列{ }成等比的充要条件是数列{ }（ ）成等比数列.
⑷数列{ }的前 项和 与通项 的关系：
[注]： ① （ 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若 不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{ }前n项和 → 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若 为零，则是等差数列的充分条件；若 不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍 ；
②若等差数列的项数为2 ，则 ；
③若等差数列的项数为 ，则 ，且 ，
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，… ； 5，55，555，… .
4. 等比数列的前 项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，公比为 . 其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为：
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 元，利息为 ，每月利息按复利计算，则每月的 元过 个月后便成为 元. 因此，第二年年初可存款：
= .
⑶分期付款应用题： 为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清； 为年利率.
5. 数列常见的几种形式：
⑴ （p、q为二阶常数） 用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程 （ 对应 ，x对应 ），并设二根 ②若 可设 ，若 可设 ；③由初始值 确定 .
⑵ （P、r为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为 的形式，再用特征根方法求 ；④ （公式法）， 由 确定.
①转化等差，等比： .
②选代法：
.
③用特征方程求解： .
④由选代法推导结果： .
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前 项和为 ，在 时，有最大值. 如何确定使 取最大值时的 值，有两种方法：
一是求使 ，成立的 值；二是由 利用二次函数的性质求 的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 项和可依照等比数列前 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差 的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证 都成立。
3. 在等差数列｛ ｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于 其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于 其中{ }是等差数列， 是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）
高中数学第四章-三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．
（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．
§04. 三角函数 知识要点
1. ①与 （0°≤ ＜360°）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）：
②终边在x轴上的角的集合：
③终边在y轴上的角的集合：
④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
⑥终边在 轴上的角的集合：
⑦若角 与角 的终边关于x轴对称，则角 与角 的关系：
⑧若角 与角 的终边关于y轴对称，则角 与角 的关系：
⑨若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系：
⑩角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系：
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝ °≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ ≈0.01745（rad）
3、弧长公式： . 扇形面积公式：
4、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
三角函数 定义域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
8、同角三角函数的基本关系式：
9、诱导公式：
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
公式组四 公式组五 公式组六
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
公式组三 公式组四 公式组五
, , , .
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
（A、 ＞0）
定义域 R R
R
值域 R R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 非奇非偶
当 奇函数
单调性 上为增函数； 上为减函数（ ） ；上为增函数
上为减函数
（ ）
上为增函数（ ） 上为减函数（ ） 上为增函数；
上为减函数（ ）
注意：① 与 的单调性正好相反； 与 的单调性也同样相反.一般地，若 在 上递增（减），则 在 上递减（增）.