解答:
本题涉及两个方面:充分条件、必要条件
1、有极值时,导数一定为0,这是必要条件。
因为有极值,不是极大值,就是极小值。
如果是极大值:左侧上升,所有点的斜率为正,即所有点的导数 > 0;
右侧下降,所有点的斜率为负,即所有点的导数 < 0。
所以,极大值点处的导数为0。 如同圆的上半部分。
如果是极小值:左侧下降,所有点的斜率为负,即所有点的导数 < 0;
右侧上升,所有点的斜率为正,即所有点的导数 > 0。
所以,极小值点处的导数为0。 如同圆的下半部分。
2、如果导数为0,就有极大值,或极小值,这就是充分条件。事实上,不是这样。
例如:y = 3 是一条水平的直线,处处导数为0,既非极大值也非极小值;
又如:y = x³,dy/dx = 3x²,x = 0 时,dy/dx = 0,既非极大也非极小;
(这一点,楼上以作说明)
再如:y = x²³,dy/dx = 23x²², x = 0 时,dy/dx = 0, 非极大非极小;
四如:y = x³³,dy/dx = 33x³², x = 0 时,dy/dx = 0, 非极大非极小;
.....................(不胜枚举)
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