图九(a)中间的浅黄色部分是一个平行四边形,它的面积可以用以下算式求得:mn sin(a + b),其中 m 和 n 分别是两个直角三角形斜边的长度。而图九(b)中的浅黄色部分是两个长方形,其面积之和是:(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一样,(a)、(b)两图浅黄色部分的面积是相等的,所以将两式结合并消去共有的倍数,我们得:sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,这就是三角学中最重要的复角公式!原来勾股定理和这条复角公式是来自相同的证明的!
在证明二中,当介绍完展开 (a + b)2 的方法之后,我提出了赵爽的「弦图」,这是一个展开 (a - b)2 的方法。而证明五亦有一个相似的情况,在这裏,我们除了一个类似 (a + b) 的「无字证明」外,我们亦有一个类似 (a - b) 的「无字证明」。这方法是由印度数学家婆什迦罗(Bhaskara; 1114 - 1185)提出的,见图十。
(a) (b)
图十
证明六
图十一
图十一中, 我们将中间的直角三角形 ABC 以 CD 分成两部分,其中 Ð C 为直角,D 位於 AB 之上并且 CD ^ AB。设 a = CB,b = AC,c = AB,x = BD,y = AD。留意图中的三个三角形都是互相相似的,并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA,所以
在图十三(a)中,我在中间的直角三角形三边上分别画上三个和中间三角形相似的直角三角形。留意:第 III 部分其实和原本三角形一样大,所以面积亦相等;如果我们从三角形直角的顶点引一条垂直线至斜边,将中间的三角形分成两分,那麼我们会发现图十三(a)的面积 I 刚好等於中间三角形左边的面积,而面积 II 亦刚好等於右边的面积。由图十三(b)可以知道:面积 I + 面积 II = 面积 III。与此同时,由於面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2,所以 a2 + b2 = c2。