派是无理数吗？怎么证明

Question

如题所述

Answer 1

圆周率π是无理数。证明如下：

假设π是有理数，则π=a/b，（a,b为自然数）

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0<x<a/b,则

0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)

0<sinx<1

以上两式相乘得：

0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)

当n充分大时，,在[0，π]区间上的积分有

0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）

又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)

由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(π)也都是整数。

又因为

d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx

=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx

=F"(x)sinx+F(x)sinx

=f(x)sinx

所以有：

∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为π，下限为0）

=F(π)+F(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以π不是有理数，又它是实数，故π是无理数。

扩展资料：

π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。

把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果以39位精度的圆周率值，来计算宇宙的大小，误差还不到一个原子的体积 。

以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。

π在许多数学领域都有非常重要的作用。

无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、 等。

而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。

如果正整数N不是完全平方数，那么  不是有理数（是无理数）。

证明：若假设  是有理数，不妨设  ，其中p与q都是正整数（不一定互质。若假定p、q互质则证法稍有变动）。

设  的整数部分为a，则有不等式  成立。两边乘以q，得

因p、q、a都是整数，p-aq也是一个正整数。

再在上述不等式的两边乘以  ，得

即：

显然，qN-ap也是一个正整数。

于是我们找到了两个新的正整数  和  ，它们满足  ，即  ，并且有  。

重复上述步骤，可以找到一系列的  使得  且  。因该步骤可以无限重复，意味着  均可无限减小，但这与正整数最小为1矛盾。

因此假设错误，  不是有理数。

Answer 2

圆周率π是无理数。证明如下：
假设π是有理数，则π=a/b，（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,则
0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上两式相乘得：
0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)
当n充分大时，,在[0，π]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(π)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为π，下限为0）
=F(π)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以π不是有理数，又它是实数，故π是无理数。

Answer 3

数学家们已经证明了π是无限不循环小数，但是证明的方法比较复杂，一般都要用到高等数学，初等解法是比较难让人懂的，不过证明的方法很多。一般的证明思路就是先假设π是个有理数，那么可以把π表示成m/n的形式，然后退出矛盾，进而说明π是无理数。π是无理数是1761年由德国数学家兰伯特首先证明的。后来，德国数学家林德曼证明了π是超越数，也就是说它不是任何一个整系数整式方程的根。本回答被网友采纳

Answer 4

有理数的小数部分在阶乘进位中都是有限的，pi不是。。所以是无理的。。追答

找相关的专业证明看看

Answer 5

圆的周长=πd
π=圆的周长÷圆的直径
所以找一个规则的圆，比较准确的测量出圆的周长和直径。同一个圆，它的周长÷它的直径都等于同一个数