高中解析几何题

Question

1.某抛物线拱桥的跨度是20m，中间拱高是4m，在建桥时每隔4m需用一支柱支撑，其中最长的支柱高是？

2.已知抛物线x^2＝4y与圆x^2+y^2=32交于A,B两点, 直线l:y=kx+b和圆相切于劣弧AB上一点,并交抛物线于M,N两点. 求M,N到抛物线的焦点的距离之和的最大值

Answer 1

1.如下图，设抛物线方程应为y=ax^2+bx+c

对称轴为x轴，所以b=0

x=0时y=4，所以c=4

x=10时，y=0，所以a=-0.04

所以抛物线方程为y=-0.04x^2+4

一共四个支柱，最长的是中间两个，所求最长支柱高即为x=2时y的值

x=2时，y=3.84

即最长支柱高是3.84m

2.解：应为直线与原相切，所以原点到直线的距离等于圆的半径4√2

所以b/√(k^2+1)=4√2

得b^2=32(k^2+1)

抛物线与圆的交点为（4，4）（-4，4）

所以-1<k<1,则4√2<b<8

因为x^2＝4y,所以x=2√y,与直线方程联立得y-2k√y-b=0

y1+y2=(√y1+√y2)^2-2√y1·y2=4k^2+2b

M、N到焦点距离之和为

y1+y2+2=4k^2+2b+2=b^2/8+2b-2

当b=8时，上式最大等于22

所以M,N到抛物线的焦点的距离之和的最大值为22

Answer 2

budong

Answer 3

1.
即一抛物线y=a*(x^2)+bx+c
经过(0,4)和(10,0),(-10,0)点，
求x=2时的y值
因为对称轴x=0，所以b=0
带入(0,4)和(10,0)
4=a*(0^2)+c
0=a*(10^2)+c
c=4 a=-1/25
那么将x=2代入y=(-1/25)*(x^2)+4中
得
y=4-4/25=3.84

2.
x^2=4y,x^2+y^2=32
得到交点(4,4)(-4,4)
y=kx+b,x^2+y^2=32
(1+k^2)+2kbx+b^2-32=0
德尔塔=0…………（1）
-4<=-(kb)/(1+k^2)<=4…………（2）
解得，k^4<=1
-1<=k<=1,4根号2<=b<=8
y=kx+b,x^2=4y
德尔塔>0
k^2+b>0
而显然b>0
所以两者恒有两个交点。
M,N到焦点的距离根据性质也就是到准线的距离。
也就是M,N的中点Q到直线y=-1/16的最大距离的两倍，
设M(x1,y1),N(x2,y2)
所以Q(x1+x2/2,y1+y2/2)
所以Q(k,k^2+b)
所以Q到准线值为k^2+b+1/16=(b^2+32b-30)/32
b=8,最大值为145/16
那M,N到焦点距离最大值和就是145/8

Answer 4

1）4米，建立直角坐标系，确定原点，求解析式，再求对称轴
2)，不会