证明根号2是无理数

Question

最好用初中的知识，用到其他的请详细点，多种方法最好，多1种+50

Answer 1

证明：假设√2是有理数。那么可用互质的两个数m、n来表示√2。

即√2=n/m。

那么由√2=n/m可得，

2=n^2/m^2，即n^2=2*m^2

因为n^2=2*m^2，那么n^2为偶数，则n也为偶数。

则可令n=2a，那么(2a)^2=2*m^2，

化简得2a^2=m^2，同理可得m也为偶数。

那可令m=2b。

那么由m=2b，n=2a可得m与n有共同的质因数2，即m和n不是互质的两个数。

所以假设不成立。

即√2是有理数不成立，那么√2是无理数。

扩展资料：

1、无理数性质

无理数不能表示为两个整数的比。即无理数为无限不循环小数。

2、常见的无理数有圆周长与其直径的比值（π）、欧拉数e，黄金比例φ。

3、有理数性质

有理数可表示为两个整数的比值。即有理数可以用分数来表示。

参考资料来源：百度百科-无理数

参考资料来源：百度百科-有理数

Answer 2

假设根号2是有理数
那么根号2可以由两个互质的素数表示成p/q
即根号2=p/q
p=根号2*q
两边平方得p^2=2*q^2
所以p^2为偶数
所以p为偶数
所以p^2为4的整数倍
所以q^2为偶数
所以q为偶数
得到p、q均为偶数，并不互质
与假设矛盾
所以根号2为无理数

Answer 3

设根号2是有理数
根号2=M/N MN为互质整数
则
2=M方/N方
M方=2M方 即M方是偶数,M为偶数
M为偶数,则M方为4的倍数
则N方为偶数,N为偶数
则MN不互质
与假设矛盾
所以:根号2是无理数

这种方法叫反证法,
1,假设相反的情况成立
2,根据假设得出于假设矛盾的结论
3,从而证明假设错误,原命题正确本回答被提问者采纳

Answer 4

证明：
如果根号2是有理数，
则满足有理数的性质：任何有理数可以表示成p/q的形式
其中p，q为正整数并且p，q互素即最大公约数是1
则根据最大公因数的性质有正整数m，n
使mp+nq=1 …………（1）
因为 p/q=根号2 ，为有理数
所以 p=（根号2）*q也是有理数（根据有理数域性质）…………（2）
代入（1）
m*（根号2）*q+nq=1 …………（3）

又因为m>=1,根号2>1,q>=1,n>=1,
所以m*（根号2）*q+nq>1，
与（3）矛盾
所以根号2为无理数
证毕！

参考资料：http://tieba.baidu.com/f?kz=120072343

Answer 5

假设根号2为有理数，那么必然可以表示为两个整数之比，即m/n
设m/n为最简分数，即m.n互质
因为m/n=2
所以(m/n)^2=m^2/n^2=2
m^2=2n^2
所以m^2为偶数，即m为偶数
不妨设m=2k
那么m^2=4k^2
所以n^2=m^2/2=2k^2
所以n^2为偶数，即n为偶数
所以m,n均为偶数，m/n必有公约数2，即m/n不是最简分数，与假设矛盾，所以根号2不能表示为两个整数m/n之比，所以不是有理数，即是无理数