设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,试证:方程f'(x

Question

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,试证:方程f'(x)-f(x)=0在(a,b)内至少有一根

Answer 1

证明：g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，g(a)=g(b)=0,所以满足罗尔定理。
故（a,b)内至少存在一点c,使得g′(c)=0，
而g′(x)=[e^xf′(x)-e^xf(x)]/(e^x)^2
=f′(x)-f(x)]/e^x g′(c)
=[f′(c)-f(c)]/e^c,
g′(c)=0,
f′(c)-f(c)=0,f′(c)=f(c)追问

g′(x)=[e^xf′(x)-e^xf(x)]/(e^x)^2是什么

Answer 2

追答

重要的是构造出那个函数

追问

构造函数是有公式吗？

追答

没有固定公式，凭经验和感觉

追问

那依据什么

追答

一般f(x)和f'(x)同时出现的时候会想到构造e^xf(x)

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