基本不等式的证明

Question

＾表示指数

如果a、b、c都是正数，那么a＾3+b＾3+c＾3≥3abc

方法越简单越好

Answer 1

a＾3+b＾3+c＾3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
因为a+b+c>0
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc>0
证明:2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc
=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0
所以a＾3+b＾3+c＾3≥3abc

Answer 2

用数学归纳法假设当n=k-1时成立，当n=k时记A=[a1+a2+...+ak]/k则A=[(k-2)A+kA]/(2k-2)=[(k-2)A+a1+a2+...+ak]/(2k-2)
(k-2)A+ak=A+A+...+A+ak>=(k-1)*(A^(k-2)*ak)^(1/(k-1))
a1+a2+...+a(k-1)>=(k-1)*(a1a2...a(k-1))^(1/(k-1))
所以A>=[(A^(k-2)*ak)^(1/(k-1))
+(a1a2...a(k-1))^(1/(k-1))]/2>=[A^(k-2)*(a1a2...ak)]^(1/2(k-1))所以A^(2k-2)>=A^(k-2)*(a1a2...ak)A^k>=a1a2...akA>=[a1a2...ak]^(1/k)所以当n=k时命题亦成立

Answer 3

左边的小于等于号：由于
(a-b)^2>=0
a^2+b^2-2ab>=0
a^2+b^2-2ab+4ab>=4ab
(a+b)^2>=4ab
移项，结论得证
a^2+b^2>=2ab
a^2+b^2+a^2+b^2>=2ab+a^2+b^2
2(a^2+b^2)>=(a+b)^2
上下同除以4即得结论。

Answer 4

先移项，然后因式分解
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2

a,b,c都是正数，后面的不用我再写了吧

Answer 5

直接根据均值不等式
算术平均数大于几何平均数
a^3+b^3+c^3>=3*三次根号下(a^3*b^3*c^3)=3abc

原式得证