lim(1+1/x)∧x=e证明过程是什么？

Question

如题所述

Answer 1

具体回答如下：

im (1+1/x)^x 。

=lim e^[ ln ((1+1/x)^x)] 。

= e^ lim [ x ln (1+1/x)]。

x-->无穷大 1/x--> 0。

此时，ln (1+1/x) = 1/x （等价无穷小）。

lim [ x ln (1+1/x)] = x * 1/x = 1。

原式= e^ 1 = e。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

Answer 2

具体证明过程如下：

im (1+1/x)^x 

=lim e^[ ln ((1+1/x)^x)] 

= e^ lim [ x ln (1+1/x)]

x-->无穷大 1/x--> 0

此时，ln (1+1/x) = 1/x （等价无穷小）

lim [ x ln (1+1/x)] = x * 1/x = 1

原式= e^ 1 = e

数列极限

设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作，或Xn→a（n→∞）。

读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a”。

若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列。