在利用正交变换求标准二次型时，有以下问题

Question

在利用正交变换求标准二次型时，有以下问题在利用正交变换求标准二次型时，求得的标准型的各项系数不就是二次型对应的矩阵的特征值吗，那么直接求出特征值不就能得出标准型了吗，干嘛还要正交化，单位化求出正交矩阵那么麻烦？

Answer 1

掌握正交变换化二次型为标准形的方法，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值，所用的正交变换矩阵就是经过改造的二次型矩阵的特征向量。
具体步骤如下：
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值（λ1，λ2，，λn）
3、求矩阵A的特征向量（α1，α2，，αn）
4、改造特征向量（单位化、Schmidt正交化）γ1，γ2，，γn
5、构造正交矩阵P=（γ1，γ2，，γn）
则经过坐标变换x=Py，得
f=xTAx=yTBy=λ1y12+λ2y22++λnyn2

注意：特征值λ1，λ2，的顺序与正交矩阵P中对应的特征向量γ1，γ2，的顺序是一致的。

newmanhero 2015年6月19日16:10:11

希望对你有所帮助，。