一到证明题怎么求解答？要用到拉格朗日定理

Question

如题所述

Answer 1

令F(x)=f(x)-x x∈[0,1]
F(0)=f(0)-0>0 F(1)=f(1)-1<0
F(x)在[0,1]上可导，连续
故至少在(0,1)内有一点ξ,使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ.
下面用反证法证明 ξ 只有一个.
假设存在ξ1,ξ2∈(0,1) , F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0.
由罗尔中值定理,必存在 η ∈(ξ1,ξ2), F '(η) = f '(η) - 1 = 0
得出 f '(η) = 1 这与 f'(x)≠不为1 矛盾,假设错误.
因此在(0,1)内有唯一点,使得 f(ξ) = ξ.