有关椭圆的数学题目

Question

1。求中心在原点,对称轴在坐标轴,x轴上的一焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离为根号10减根号5的椭圆方程

2。已知三角形ABC三边为a>b>c,且a,b,c成等差数列，A,C的坐标为(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程

3。已知点P（2，0），及圆C：x2+y2-6x+4y+4=0.
（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；
（2）设过点P且与圆C交于A.B两点，当AB的绝对值=4，求以线段AB为直径的圆
的方程

Answer 1

1、设焦点F2(c,0),上端点B(0,b),a^2+a^2=(2b)^2,a=√2b,c+√10-√5=a,
√[a^2-(a√2/2)^2] +√10-√5=a,a=√10,b=√5,椭圆方程为：x^2/10+y^2/5=1.
2、b为a、c的等差中项，b=(a+b)/2,|b|=1-(-1)=2,a+b=4,设B点坐标为（x,y）,根据两点距离公式得：√[（x-1）^2+y^2]+√[(x+1)^2+y^2]=4，化简得：
x^2/4+y^2/3=1, 顶点B的轨迹方程是一个椭圆方程。
3、化为标准圆的方程：(x-3)^2+(y+2)^2=9,圆心C（3，-2），设直线方程为:
x/2+y/b=1,设圆心至直线距离为d,d=|3/2-2/b-1|/√(1/4+1/b^2)=1,b=3/2,直线方程为:x/2+2y/3=1,整理为3x+4y=6.
设A（x1,y1）,B(x2,y2),AB经过P（2，0），设其方程为y=-bx/2+b，连结AC并延长至圆周D，BD=√[（2R）^2-AB^2]=2 √5,AB弦心距为√5，根据点直线距离公式d=|b/2-3-b|/√(1+b^2/4)= √5,b=±4/√5，斜率k=-b/2=-2/√5,或k=2/√5,直线方程为：y=-2/√5x+4/√5 和y=2/√5x-4/√5其垂直平分线斜率为其负倒数为√5/2，或-√5/2，方程为：
(y+3)= √5/2(x-2)或(y+3)= -√5/2(x-2),
二对方程联立求出交点，x1=(6+2√5)/3,y1=-4/3,x2=(6-2√5)/3,y2=-4/3，圆心有二，（(6+2√5)/3，-4/3），（(6-2√5)/3，-4/3），圆的方程为：
[x-(6+2√5)/3]^2+(y+4/3)^2=4, [x-(6-2√5)/3]^2+(y+4/3)^2=4.

Answer 2

1.X^2/10+Y^2/5=1
2.顶点B到两个坐标轴上的顶点的距离和是4,刚好说的就是椭圆的第一定义,直接用公式写出来就行了,这个不难,相信给你说清楚了
3.(1)直线过P点,所以设截距式方程,然后由题意,圆心到直线距离等于1,根据点到直线距离公式,带入求解,应该有两个解的
(2)类似上一问的思维,还是设截距式方程,可以求出AB中点的坐标,然后AB长度已知了,方程也就写出来了,答案应该也是两个解
希望能对你有帮助,如果还有不明白的可以继续问我!

Answer 3

条件应该是∠AMB吧？
因A、B为椭圆长轴两顶点，故AB=2a，M在短轴顶点时∠AMB最大，由题意，有∠AMB>=120°.
故∠AMO>=60°.从而tan∠AMO=a/b>=根号3.
即(a/b)^2>=3.
a^2>=3b^2
又才b^2=a^2-c^2
故2a^2<=3c^2
同除以3c^2得e^2>=2/3
又0<e<1
故e属于（3分之根号6，1）