x服从正态分布(0,2)d(x^2)等于什么？

Question

如题所述

Answer 1

在题目中，x服从均值为0，标准差为2的正态分布，即 x ~ N(0, 2)。
现在我们来求随机变量 Y = x^2 的概率密度函数。
首先，我们需要找到 Y 的分布。由于 x 是服从正态分布的随机变量，所以 x^2 也是非负的，即 Y >= 0。
对于非负的 Y，我们可以使用变量变换的方法来求其概率密度函数。设 Y = g(X) = X^2，其中 X 是正态分布的随机变量 x。我们需要求 Y 的概率密度函数 f_Y(y)。
首先，我们计算 g(X) 的导数：
g'(X) = d(X^2)/dX = 2X
接下来，我们计算 Y 的概率密度函数 f_Y(y)：
f_Y(y) = f_X(X) * |g'(X)|
因为 x ~ N(0, 2)，所以 f_X(X) 是正态分布的概率密度函数：
f_X(X) = (1/(2*π*2^2)) * exp(-(X-0)^2/(2*2^2))
|g'(X)| = |2X| = 2X，因为 X 是非负的。
所以，Y 的概率密度函数 f_Y(y) 是：
f_Y(y) = (1/(2*π*2^2)) * exp(-(X-0)^2/(2*2^2)) * 2X
将 X 替换为 X = √y，得到：
f_Y(y) = (1/(2*π*2^2)) * exp(-((√y)-0)^2/(2*2^2)) * 2√y
化简得到：
f_Y(y) = (1/(2*π*2^2)) * exp(-(y)/(8)) * 2√y
因此，Y = x^2 的概率密度函数为：
f_Y(y) = (1/(2*π*2^2)) * exp(-(y)/(8)) * 2√y