(1+x)^1/x的极限为什么是e？

Question

如题所述

Answer 1

将重要极限limx→∞（1＋1/x）^x=e为推广形式limx→∞（1＋u（x）^v（x）（u（x）→的0,v（x）→∞极限。

lim x→∞,(1+x)^(1/x) 。

=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))] 。

=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)] 。

其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)。

=lim x→∞,[ln(1+x)]/x ∞/∞型。

使用洛必达法则，上下同时求导，得到 lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0 。

所以e的指数部分极限是0。

原式=limx->0(e^x/x - 1/x)。

=limx->0(e^x - 1)/x。

=1。

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。