正态分布有三个常用的公式，分别是哪些？

Question

如题所述

Answer 1

[CLASSIC] 正态分布是统计学中最重要且最常用的连续概率分布之一。它可以用以下三个常用的公式来描述：

1. 概率密度函数（Probability Density Function, PDF）：正态分布的概率密度函数通常用符号 φ(x) 表示。对于给定的均值 μ 和标准差 σ，概率密度函数描述了随机变量在每个可能取值 x 处的相对概率密度。正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其峰值位于均值处，标准差决定了曲线的宽度。

2. 累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）：正态分布的累积分布函数通常用符号 Φ(x) 表示。对于给定的均值 μ 和标准差 σ，累积分布函数描述了随机变量小于或等于给定值 x 的概率。它是概率密度函数的积分，表示了从负无穷到 x 的区间内的概率。

3. 逆正态分布函数（Inverse Normal Distribution Function）：逆正态分布函数是累积分布函数的反函数，通常用符号 z(p) 表示。对于给定的概率值 p，逆正态分布函数给出了使得累积分布函数等于 p 的对应随机变量值。逆正态分布函数在统计推断和假设检验中经常使用，用于计算给定概率下的临界值。

这些公式对于理解和应用正态分布在统计分析、概率论和数据建模中的重要性至关重要。

Answer 2

在高中统计学中，我们通常使用正态分布来描述连续型的随机变量。正态分布有三个常用的公式：

1. 概率密度函数（Probability Density Function, PDF）：
正态分布的概率密度函数是一个关于变量 x 的函数，表示了变量取某个值的概率密度。正态分布的概率密度函数表达式为：
f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-((x - μ)^2) / (2σ^2))

其中，f(x) 表示 x 的概率密度，μ 表示正态分布的均值，σ 表示正态分布的标准差，e 是自然对数的底，sqrt 表示开平方。

2. 累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）：
正态分布的累积分布函数是一个关于变量 x 的函数，表示了变量小于等于某个值的累积概率。正态分布的累积分布函数表达式为：
F(x) = 1/2 * (1 + erf((x - μ) / (σ * sqrt(2))))

其中，F(x) 表示 x 小于等于某个值的累积概率，erf 表示误差函数。

3. 逆累积分布函数（Inverse Cumulative Distribution Function, ICDF）：
逆累积分布函数是累积分布函数的反函数，它用来计算给定累积概率的对应变量值。对于正态分布来说，逆累积分布函数通常称为正态分布的 z 分数表。它表示了给定一个概率值，找到对应的标准分数 z。

这三个公式是用来描述正态分布的重要工具，可以帮助我们计算概率、百分位数和标准分数等。