△ABC中，D、E是BC边上的两点，若AD=AE,∠BAD=∠C,AC=6,CE=4。求BE的长。

Question

1.△ABC中，D、E是BC边上的两点，若AD=AE,∠BAD=∠C,AC=6,CE=4。求BE的长。见图一
2.已知 AB‖CD,AD,BC相交于E，F为EC上一点。且∠EAF=∠C. 求证AF的平方等于FE乘以FB. 见图二
3.∠BAD=∠DAC,AE=DE,FG⊥AD,B,D,C,F在同一直线上，求证 DF的平方等于FC乘以FB 见图三 3个题全部要详细证明步骤!

Answer 1

1、∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED（等边对等角）
∴∠ADB=∠AEC（补角）
∵在△ADB和△CEA中，∠BAD=∠C，∠ADB=∠AEC
∴∠B=∠CAE（三角形三个内角的和等于180°）
∵∠B=∠CAE，∠C=∠C
∴△ABC∽△EAC（两角对应相等的两个三角形相似）
∴BC：AC=AC：EC（相似三边形的对应边成比例）
∵AC=6，CE=4
∴BC=9
∵BC=9，CE=4，BE+CE=BC
∴BE=9-4=5

2、∵∠BAD=∠CDA，∠EAF=∠C
∴∠BAF=∠BAD+∠EAF=∠CDA+∠C=∠AEF
又，∠AFE=∠BFA
∴△AFE∽△BFA
∴AF/BF=EF/AF
AF^2=FE*FB

3、连接AF
∵FE⊥AD，AE=DE
∴DF=AF
∵∠BAD=∠DAC，∠ADF=∠DAF
∴∠ABF=∠ADF-∠BAD=∠DAF-∠DAC=∠FAC
又，∠AFB=∠CFA
∴△AFB∽△CFA
∴AF/CF=BF/AF
AF^2=FC*FB
又∵DF=AF
∴DF^2=FC*FB

Answer 2

1. AEC=180=AED=180-ADE=180-B-BAD=180-B-C=BAC => CAE相似CBA
所以AC^2=BC*CE，BE=AC^2/CE-CE=5

2. EAF=C=B => FAE相似FAB => AF^2=FE*FB

3. 连AF，DFE=90-B-1/2BAC，DFA=2DFE=180-2B-BAC=(B+BAC+BCA)-2B-BAC=BCA-B
CAF=180-(ACF+DFA)=(B+CAB+CBA)-((B+BAC)+(BCA-B))=B
所以ACF相似BAF，AF^2=FC*FB
又因为FE为AD中垂线，所以DF=AF，所以DF^2=FC*FB

Answer 3

∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED（等边对等角）
∴∠ADB=∠AEC（补角）
∵在△ADB和△CEA中，∠BAD=∠C，∠ADB=∠AEC
∴∠B=∠CAE（三角形三个内角的和等于180°）
∵∠B=∠CAE，∠C=∠C
∴△ABC∽△EAC（两角对应相等的两个三角形相似）
∴BC：AC=AC：EC（相似三边形的对应边成比例）
∵AC=6，CE=4
∴BC=9
∵BC=9，CE=4，BE+CE=BC
∴BE=9-4=5