legendre多项式递推公式推导

Question

如题所述

Answer 1

legendre多项式递推公式推导，相关内容如下：

1.名字由来

勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足|x|<1时，可得到有界解（即解级数收敛）。

并且当n为非负整数，即n=0,1,2,...时，在x=±1点亦有有界解。这种情况下，随n值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式。

2.解函数

解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。

勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足|x|<1时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n为非负整数，即n=0,1,2,...时，在x=±1点亦有有界解。

这种情况下，随n值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。

其中δmn为克罗内克δ记号，当m=n时为1，否则为0。事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1,x,x,...}进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题。

分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分（定义参见分数微积分理论）和通过Γ函数定义的非整数阶乘代入罗德里格公式中来定义。