线性变换，简单来说，就是将空间中的元素，如向量，按照特定的规则进行转换，保持线性性质。例如，二维坐标系的旋转就是线性变换的一个实例。当我们逆时针旋转一个角度后，原点下的点在新坐标系下的坐标可以通过矩阵乘法来计算，这个矩阵就是旋转的线性变换矩阵，它的排列方式基于基坐标（如（1，0）和（0，1））的转置。
线性变换的数学定义是对于任何两个向量a和b，如果A(a+b)=Aa+Ab且Aka=kAa，那么A被称为线性变换。三维空间中的旋转就是线性变换的一个具体例子，它满足线性关系，即对向量的加法和标量乘法具有封闭性。
对于三维空间中球面的变换，我们可以用变换矩阵来描述每个点在不同坐标系下的位置变化，基坐标的选择会影响矩阵的复杂性。特定的基坐标，即特征向量，可以使变换矩阵对角化，对角线上的元素就是特征值，反映了向量在变换后的大小关系。并非所有矩阵都能对角化，但实对称矩阵有此特性，即可以找到一组线性无关的特征向量，使得矩阵在这些向量构成的基下变为对角矩阵。
在流体力学中，张量描述的是物体在空间中的位置变化，而变形速度张量通过与其它张量的内积计算出物体的变形速度。线性变换在许多科学领域都有重要应用，理解其核心概念对于深入学习和应用是至关重要的。
linear transformation