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已知x,y都大于等于零,求证1/2(x+y)^2+1/4(x+y)>=x√y+y√x
已知x,y都大于等于零,求证1/2(x+y)²+1/4(x+y)>=x√y+y√x
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推荐答案 推荐于2016-06-27
欲证原不等式成立,即证(x+y)(x+y+1/2)>=2x√y+2y√x
即 (x+y)(x+y+1/2)>=2√(xy)*(√x+√y).
由于x+y>=2√(xy),且2√(xy)>=0,故只需证 x+y+1/2>=√x+√y成立即可.
令√x=m,√y=n,则证m²+n²+1/2>=m+n,其实仔细观察就可看出此式是成立的.
因为 m²+n²-m-n+1/2=(m-1/2)²+(n-1/2)²>=0,所以m²+n²+1/2>=m+n成立.
故原不等式成立.
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其他回答
第1个回答 2006-08-19
只有(1),(3).
因为反比例函数在(-∞,0)和(+∞,0)上分别为减函数,而不是在整个定义域上为减函数,所以必须给定x>0或x<0才行,我举个例子,y=1/x,x=-1时:y=-1,x=2时y=1/2,
显然1/2>-1,而不是y随x的增大而减小,但如果给定了x>0,则一定会有y随x增大而减小。
相似回答
已知x,y都大于等于零,求证1
/
2(x+y)^2+1
/
4(x+y)
>
=x√y+y√x
答:
应该是可以的。两次以上不等式变形需要注意一点:取等条件。如果取等条件不同就放在一起极有可能出错。但你的方法里两次变形取等条件都是
x=y
,所以应该是可行的。
...y≥
0,求证
:1/
2(x+y)
⊃
2;
+1
/
4(x+y)
≥
x√y+y√x
答:
x+y+1/2=x-x^0.5+0.25+y-y^0.5+0.25+x^0.5+y^0.5=(x^0.5-0.5)^2+(y^0.5-0.5
)^2+x^0
.5+y^0.5>
=x^0
.5+y^0.5 故
(x+y)(x+y+1
/2)>=(x+y)(x^0.5
+y^0
.5)>=2x^0.5y^0.5(x^0.5+y^0.5)再两边同除以2即可 ...
基本不等式的证明
已知x
>0
,y
>
0,求证
:1/x
+1
/y>
=4
/
(x+y)
答:
因为x+y>
=2√xy
则
(x+y)^2
/4xy>=4xy/4
xy=1
即(1/
x+1
/y)/[4/(x+y)]>=1 因为x>
0,y
>0 则1/x+1/y>=4/(x+y)得证
已知x
>
0,y
>
0,x+y=1,求证x2+y2大于等于1
//2 .证明:因为
xy
≤1/
4
,x2...
答:
对于本题,容易证明两次
x,y
的取值相同,如果遇到这样的题都这样证,就很容易发生错误。这道题应该这样证:
x+y=1
y=1-x 由y>0得1-x>0 x<1 0<x<1 x^2+y^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2
x+1=2(x
-1/2
)^2+1
/2 当
x=1
/2时,有最小值1/2 因此x^2+y^2≥1/2 ...
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