已知fx是定义在R上的偶函数，且f（1）=0，设f'x是函数fx的导函数

Question

设f'x是函数fx的导函数，当x大于0时，有xf'x-fx/x^2小于0，则不等式x^2（e^x+1）fx大于0

Answer 1

答：

定义在R上的偶函数f(x)有：f(-x)=f(x)
所以：f(-1)=f(1)=0
因为：[ xf'(x)-f(x) ] /x^2<0
所以：[f(x)/x ]'<0
设g(x)=f(x)/x，则g(-x)=f(-x)/(-x)=-f(x)/x=-g(x)
所以：g(x)是奇函数，g'(x)<0
所以：g(x)在原点两侧都是单调递减函数
因为：g(-1)=g(1)=0
所以：x<-1或者0<x<1时g(x)>0
所以：
(x^2)*(e^x+1)f(x)>0
(x^2)f(x)>0，f(x)>0
1）x<0，g(x)=f(x)/x<0，则-1<x<0
2）x>0，g(x)=f(x)/x>0，则0<x<1
综上所述，不等式的解为-1<x<0或者0<x<1