怎么解决反三角函数的几何意义?

如题所述

    什么是反三角函数?

    反三角函数是一种基本初等函数。它并不能狭义的理解为三角函数的反函数,是个多值函数。它是反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切arctan x,反余切arccot x,反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称,各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割,反余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

    下面为反三角函数几何意义的解释:

图中圆弧为第一象限内的单位圆圆弧。

(1)左图:

P为圆弧上的点,此时:

因:sinα = x / 1 = x;故:α = arcsinx;

因:sinβ = y / 1 = y;故:β = arcsiny;

角度关系:arcsinx + arcsiny = α + β = 90° = π / 2;

边长关系:x² + y² = 1;

(2)右图:

P为圆内的点,此时:

角度关系:arcsinx + arcsiny = α + β < 90° = π / 2;

边长关系:x² + y² < 1。

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第1个回答  推荐于2017-12-16

要说证明,代数法可能更方便;我只说几何意义:

图中圆弧为第一象限内的单位圆圆弧。

(1)左图:

P为圆弧上的点,此时:

因:sinα = x / 1 = x;故:α = arcsinx;

因:sinβ = y / 1 = y;故:β = arcsiny;

角度关系:arcsinx + arcsiny = α + β = 90° = π / 2;

边长关系:x² + y² = 1;

(2)右图:

P为圆内的点,此时:

角度关系:arcsinx + arcsiny = α + β < 90° = π / 2;

边长关系:x² + y² < 1;

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第2个回答  2020-11-18
图中圆弧为第一象限内的单位圆圆弧。
(1)左图:
P为圆弧上的点,此时:
因:sinα = x / 1 = x;故:α = arcsinx;
因:sinβ = y / 1 = y;故:β = arcsiny;
角度关系:arcsinx + arcsiny = α + β = 90° = π / 2;
边长关系:x² + y² = 1;
(2)右图:
P为圆内的点,此时:
角度关系:arcsinx + arcsiny = α + β < 90° = π / 2;
边长关系:x² + y² < 1;
2016-04-27
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其他回答1条回答
匿名用户
1. 什么是反三角函数?
反三角函数是一种基本初等函数。它并不能狭义的理解为三角函数的反函数,是个多值函数。它是反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切arctan x,反余切arccot x,反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称,各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割,反余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
2. 下面为反三角函数几何意义的解释:

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图中圆弧为第一象限内的单位圆圆弧。

(1)左图:
P为圆弧上的点,此时:
因:sinα = x / 1 = x;故:α = arcsinx;
因:sinβ = y / 1 = y;故:β = arcsiny;
角度关系:arcsinx + arcsiny = α + β = 90° = π / 2;
边长关系:x² + y² = 1;
(2)右图:
P为圆内的点,此时:
角度关系:arcsinx + arcsiny = α + β < 90° = π / 2;
边长关系:x² + y² < 1。
2016-04-27
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