已知三阶实对称矩阵A的特征值为2，2，-2，求A的平方。

Question

如题所述

Answer 1

对于矩阵函数f(a)来说，
矩阵a有特征值a，
那么f(a)就有特征值f(a)
所以在这里，
a有特征值1，2，-1
那么
b=f(a)=a^3-2a^2-a+2e
那么特征值分别为
f(1)=1-2-1+2=0
f(2)=8-8-2+2=0
f(-1)=
-1-2+1+2=0
b的特征值分别为0，0，0
如果矩阵可以对角化，那么非零特征值的个数就等于矩阵的秩
所以
如果b为可以对角化的矩阵，其秩就是0，
那么b就是零矩阵

Answer 2

实对称矩阵可以写A=Q^T
B
Q
其中Q就是特征值对应的特征向量化简的单位正交阵
A*A
=
Q^T
B
Q
*
Q^T
B
Q
=Q^T
B
B
Q
而B*B
=
[2
0
0
]
[2
0
0
]
[0
2
0]
*[0
2
0]
[0
0
-2]
[0
0
-2]
=4E
（E是单位阵）
所以
A*A
=
Q^T
B
Q
*
Q^T
B
Q
=Q^T
B
B
Q
=4
Q^T
*
Q
=4E
希望帮到你