函数极限中的ε为什么可以任意给定？

Question

也就是说为什么在证明定理时总是会出现“ε=某一个确定的数字”的情况？难道这不算是带数据求其特殊情况么？

Answer 1

楼主之所以问出这样的问题，说明了两个方面：

1、楼主是喜欢思考的人，不是人云亦云、不知所云的人；
楼主是精益求精的人，不是死记硬背、囫囵吞枣的人。

2、楼主的教师是不合格的人，是花拳绣腿的人，很悲哀，这样的教师是教学主流。
他们的特点是照本宣科、生吞活剥，书教了一辈子、糊涂了一辈子，误人子弟一辈子。
他们从来讲不清任何概念的本质，无法make sense，无法理解the meaning beyound
the word，beyound the definition。

他们最常见的无厘头语言是：就是这样定义的，有什么好问的，记住不就得了？！

本题解答：
1、ε-δ method，是一个吵架的语言，是一个无穷列举变为抽象证明的过程；
2、由于ε可以任意的小(限制在正数)，这才对δ得出更严格的要求。
也就是说，无论你的ε是多么的小，我们总可以根据你的ε，算出一个δ。
当x进入到由δ所确定的区间的时，函数值与极限值之差才会小于ε。
3、由于ε的任意性，就避免了无穷列举的过程；
由于ε可以任意的小，就保证了极限的无止境趋向于一个值的趋势。
趋向于 = approaches，goes unlimitedly；
趋势 = tendency，trend。

若有疑问，请追问，有问必答。追问

首先谢谢你的回答

但我还是有一些不明白

比如：在函数极限的局部有界性证明当中

它直接就取了ε=1（难道我取其他的值就不可以了么？而且ε不是要任意小的么？难道说1就是任意小了？）

Answer 2

拿数列极限来讲
lim Xn=a:对于任意的ε>0,存在正整数N,当n>N时,有|Xn-a|。

例子：
函数极限定义中的ε 和δ是双射（一一映射）吗对任意给定的ε,存在δ>0,当0
函数极限定义中的ε 和δ是双射（一一映射）吗
对任意给定的ε,存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有 |f(x)-f(x0)|<ε
是不是由δ得存在性即x趋向于x0的存在性 然后得出f(x)趋向于f(x0)?
如果这样的话ε=f(δ)
又由定义知δ=f(ε)
答：
不是一一映射的关系,他们之间是没有严格的关系
首先我要告诉你的是“即x趋向于x0的存在性”这是永远存在的
当你取定了一个ε,要满足|f(x)-f(x0)|