矩阵初等变换后什么不会变？

Question

如题所述

Answer 1

常用的只有秩不变。初等变换行列变换之后矩阵都可以化成标准型，能得到的信息只剩秩，行数，列数。

初等变换除了不改变矩阵的秩，其他所有矩阵的特性都改了。不过得到的矩阵跟原来矩阵等价，但是并不是相同。

运用反证法也可以证明矩阵经过初等变换之后不是原来的矩阵了。并且任何矩阵都可以经过初等变换变成单位阵，如果等价的话，那所有矩阵不都是单位阵了。所以假设不成立。

两个矩阵相等是指：

1、两个对应矩阵要求同型 (行数与列数相同） 。

2、两个对应矩阵的对应位置的元素相等。

3、两个矩阵的对应分量相同。

初等变换

以下为行列式的初等变换：

1）换行变换：交换两行（列）。

2）倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。

3）消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。