在不考虑柯西序列的情况下：
.
结果为 0.000…，也就是后面的 0 无限循环。这两个数目在这里是无限循环小数，小数点后五位之后还会一直填上 0，始终无法找到最后一位来填上 1。
1.000… - 0.999… = 0.000… = 0，故 1 = 0.999… 。
这假设了 0.999… 没有“最后的9”、这些无限循环小数的小数点后的位数为可列的（可以由第一个数位一个位一个位数下去而于有限次数到任一个数位）（这已得出 0.999… 没有“最后的9”）、 1.000… - 0.999… 的结果存在小数表示式。运算结果将没有“最后的1”，所以1与0.999…没有差值。 另外一种证明更加适用于其它循环小数。当一个小数乘以10时，其数字不变，但小数点向右移了一位。因此10 × 0.999…等于9.999…，它比原来的数大9。
考虑从9.999…减去0.999…。我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位，结果都是9 - 9，也就是0。但末尾的零并不能改变一个数，所以相差精确地是9。最后一个步骤用到了代数。设0.999… = c，则10c − c = 9，也就是9c = 9。等式两端除以9，便得证：c = 1。用一系列方程来表示，就是
c=0.999...
10c=9.999...
10c-c=9.999...-0.999...
9c=9
c=1
0.999...=1
以上两个证明中的位数操作的正确性，并不需要盲目相信，也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的。这个关系，可以用几个等价的方法来表示，已经规定了0.999…和1.000…都表示相同的数。 由于0.999…的问题并不影响数学的正式发展，因此我们可以暂缓进行研究，直到证明了实数分析的标准定理为止。其中一个要求，是要刻划所有能表示成小数的实数的特征，由一个可选择的符号、构成整数部分的有限个数字、一个小数点，以及构成小数部分的一系列数字组成。为了讨论0.999…的目的，我们可以把整数部分概括为b0，并可以忽略负号，这样小数展开式就具有如下的形式：
小数部分与整数部分不一样，整数部分只能有有限个数字，而小数部分则可以有无穷多个数字。这一点是至关重要的。这是一个进位制，所以500中的5是50中的5的十倍，而0.05中的5则是0.5中的5的十分之一。 也许小数展开式最常见的发展，是把它们定义为无穷级数的和。一般地：
对于0.999...来说，我们可以使用等比级数的有力的收敛定理：
如果|r|<1，则
由于0.999...是公比为 的等比级数的和，应用以上定理，很快就可以得出证明了：
，
这个证明（实际上是10等于9.999...）早在1770年就在瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的作品《Elements of Algebra》（《代数的要素》）中出现了。
等比级数的和本身，是一个比欧拉还要早的结果。一个典型的18世纪的推导用到了逐项的操作，类似于以上的代数证明。直到1811年，Bonnycastle的教科书《An Introduction to Algebra》（《代数的介绍》）依然使用这种等比级数的方法来证明对0.999...使用的策略是正当的。在19世纪，这种随随便便的求和方法遭到了反对，这样便导致了现今仍然占有支配地位的定义：一个无穷级数的和定义为数列的部分和的极限。该定理的一个对应的证明，明确地把这个数列计算出来了；这可以在任何一本以证明为基础的微积分或数学分析的教科书中找到。
对于数列（x0，x1，x2，...）来说，如果当n增大时，距离|x−xn|变得任意地小，那么这个数列就具有极限x。0.999...=1的表述，可以用极限的概念来阐释和证明：
最后一个步骤— —通常由实数的阿基米德原理来证实。这个以极限为基础的对0.999...的看法，有时会用比较引人注意但不太精确的话语来表达。例如，在1846年的美国教科书《大学算术》（《The University Arithmetic》）中有这么一句：“0.999+，到无穷远处等于1，这是因为每加上一个9，都会使它的值更加接近于1”（.999+,continued to infinity =1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1）；在1895年的美国教科书《Arithmetic for Schools》（《学校算术》）中也有：“...如果有非常多的9，那么1和0.99999...的差就小得难以想像了”（“...when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999... becomes inconceivably small”）。这种启发式的教学法，常常被学生们误解为0.999...本身就小于1。 参见：区间套
以上的级数定义，是一个用小数展开式来定义实数的简单的方法。还有一种补充的方法，是相反的过程：对于一个给定的实数，定义一个小数展开式。
如果知道一个实数x位于闭区间[0,10]内（也就是说，这个实数大于或等于0，而小于或等于10），我们就可以想象把这个区间分成十个部分，只在端点处相重叠：[0,1]、[1,2]、[2,3]，依此类推，直到[9,10]。实数x一定是属于这十个区间的一个；如果它属于[2,3]，我们就把数字“2”记录下来，并把这个区间再细分成十个子区间：[2,2.1]、[2.1,2.2]、...、[2.8,2.9]、[2.9,3]。把这个过程一直继续下去，我们便得到了一个无穷的区间套序列，由无穷个数字b0、b1、b2、b3、...来标示，并记
在这种形式中，1=1.000...而且1=0.999...的事实，反映了1既位于[0,1]，又位于[1,2]，所以我们在寻找它的数字时，可以选择任意一个子区间。为了保证这种记法没有滥用“=”号，我们需要一种办法来为每一个小数重新构造一个唯一的实数。这可以用极限来实现，但是还有其它的方法。
一个简单的选择，是区间套定理，它保证只要给出了一个长度趋近于零的闭区间套序列，那么这些区间套的交集就正好是一个实数。这样，b0.b1b2b3...便定义为包含在所有的区间[b0,b0+1]、[b0.b1,b0.b1+0.1]，依此类推的唯一的实数。而0.999...就是位于所有的区间[0,1]、[0.9,1]、[0.99,1]、[0.99...9,1]（对于任意有限个9）的唯一的实数。由于1是所有这些区间的公共元素，因此0.999…=1。
区间套定理通常是建立在一个更加基本的实数特征之上的：最小上界的存在。为了直接利用这些事物，我们可以把b0.b1b2b3...定义为集合{b0，b0.b1，b0.b1b2，...}的最小上界。然后我们就可以证明，这种定义（或区间套的定义）与划分的过程是一致的，又一次证明了0.999...=1。汤姆·阿波斯托尔得出结论：
一个实数可以有两种不同的小数表示法，仅仅是两个不同的实数集合可以有相同的最小上界的一个反映。("The fact that a real number might have two different decimal representations is merely a reflection of the fact that two different sets of real numbers can have the same supremum.") 有些方法用公理集合论明确把实数定义为一定的建立在有理数上的结构。自然数──0、1、2、3，依此类推──从零开始并继续增加，这样每一个自然数都有一个后继者。我们可以把自然数的概念延伸到负数，得出所有的整数，并可以进一步延伸到比例，得出所有的有理数。这些记数系统伴随着加法、减法、乘法和除法的算术。更加微妙地，它们还包括排序，这样一个数就可以与另一个进行比较，并发现是大于、小于，还是等于。
从有理数到实数的一步，是一个很大的延伸。至少有两种常见的方法来达到这一步，它们都在1872年出版：戴德金分割，以及柯西序列。直接用到这些结构的0.999...=1的证明，现时已经无法在实数分析的教科书中找到了；最近几个年代的趋势，是使用公理化的分析。即使提供了这样的一个结构，它也通常被用来证明实数的公理，从而为以上的证明提供证据。然而，有些作者表达了从一个结构开始才是逻辑上更恰当的想法，这样得出的证明就更加完备了。 在戴德金分割的方法中，每一个实数x定义为所有小于x的有理数所组成的无穷集合。比如说，实数1就是所有小于1的有理数的集合。每一个正的小数展开式很容易决定了一个戴德金分割：小于某个展开阶段的有理数的集合。所以实数0.999...是有理数r的集合，使得使得r<0，或r<0.9，或r<0.99，或r小于其它具有 形式的数。0.999...的每一个元素都小于1，因此它是实数1的一个子集。反过来，1有一个元素是有理数 ，其中 ， 。但我们有 ，所以 也是0.999...的一个元素。由于0.999...和1包含相同的有理数，因此它们是相同的集合：0.999...=1。
把实数定义为戴德金分割，首先由数学家戴德金（Richard Dedekind）在1872年出版。以上把每一个小数展开式分配一个实数的方法，应归于弗雷德·里奇曼在《Mathematics Magazine》（《数学杂志》）上发表的一篇名为“Is 0.999...=1?”（“0.999...=1吗？”）的演讲稿，主要是为大学的数学教师，尤其是初级/高级程度，以及他们的学生而作。里奇曼注意到，在有理数的任何一个稠密子集中取戴德金分割，都得到相同的结果；特别地，他用到了十进分数（分母为10的幂的分数），这样便更快得出证明了：“所以，我们看到，在实数的传统定义中，方程0.9*=1在一开始就建立了。”把这个步骤再作进一步的修改，便得到了另外一个结构，里奇曼对这个结构更感兴趣；参见以下的“其它记数系统”。 更多资料：柯西序列
另外一种构造实数的方法，间接地用到了有理数的排序。首先，x和y之间的距离定义为绝对值|x−y|，其中绝对值|z|定义为z和−z的最大值，因此总是非负的。这样实数便被定义为关于这个距离的具有柯西序列性质的有理数序列。也就是说，每一个实数都是一个柯西收敛的数列（x0，x1，x2，...)。这是一个从自然数到有理数的映射，使得对于任何正有理数δ，总存在一个N，使得对于所有的m、n>N，都有|xm−xn|≤δ。（两项之间的距离变得比任何正的有理数都要小。） 如果（xn）和（yn）是两个柯西数列，那么如果数列（xn−yn）有极限0，这两个数列便定义为相等的。把小数b0.b1b2b3...拆开来，便得到了一个有理数序列，它是柯西序列；这个序列对应的实数被定义为这个小数的值。所以，在这种形式中，我们的任务就是要证明，有理数序列
有极限0。对于n=0、1、2、...，考虑数列的第n项，我们需要证明
这个极限是大家都明白的；一个可能的证明，是在数列的极限的定义中，对于ε=a/b>0，我们可以取N=b。所以，这又一次证明了0.999...=1。
把实数定义为柯西序列，首先由爱德华·海涅（Eduard Heine）和格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）独立发表，也是在1872年。以上的小数展开式的方法，包括0.999...=1的证明，则主要是得自Griffiths和Hilton在1970年的作品《A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation》（《一本经典数学的综合教科书：一个当代的阐释》）。这本书是特别为了以当代的眼光回顾一些熟悉的数学概念而作的。 0.999...=1的证明，立刻可以进行两种推广。首先，对于每一个非零的有限小数（也就是说，从某一位开始全是零），都存在另外一个与其相等的数，从某一位开始全是9。例如，0.24999...等于0.25，就像我们考虑的特殊情况。这些数正好是十进分数，而且是稠密的。
其次，一个类似的定理可以应用到任何一个底数或进位制。例如，在二进制中，0.111...等于1；而在三进制中，0.222...等于1。实数分析的教科书很有可能略过0.999...的特殊情况，而从一开始就介绍这两种推广的一种或两种。
1的其它表示法也出现在非整数进位制中。例如，在黄金进制中，两个标准的表示法就是1.000...和0.101010...，此外还有无穷多种含有相邻的1的表示法。一般地，对于几乎所有的1和2之间的q，在q进制中都有无穷多个1的展开式。而另一方面，依然存在不可数个q（包括所有大于1的实数），使得在q进制中只有一种1的展开式，除了显然的1.000...。这个结果首先由保罗·埃尔德什、Miklos Horváth和István Joó在大约1990年获得。1998年，Vilmos Komornik和Paola Loreti确定了具有这种性质的最小的进位制──Komornik-Loreti常数q=1.787231650...。在这个进位制中，1=0.11010011001011010010110011010011...；其数字由图厄-摩斯数列给出，不是循环小数。
一个更加深远的推广，提到了最一般的进位制。在这些进位制中，一个数也有多种表示法，在某种意义上来说难度甚至更大。例如：
在平衡三进制系统中，1/2=0.111...=1.111...。
在阶乘进位制系统中，1=1.000...=0.1234...。
Marko Petkovšek证明了这种歧义是使用进位制的必然结果：对于任何一个把所有实数命名的系统，总有无穷多个实数有多种表示法，而这些实数所组成的集合又是稠密的。他把这个证明称为“一个指导性的基本点集拓扑学的练习”：它包含了把进位制的集合视为斯通空间，并注意到它们的实数表示法可以由连续函数给出。
