正交变换为什么不一定有实特征值吗？

Question

如题所述

Answer 1

正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。在实数域中，正交变换对应的矩阵是正交矩阵，其特征值都是实数。然而，如果我们将正交变换扩展到复数域，那么其特征值就可能是复数。
这是因为特征值是通过解矩阵的特征方程得到的，特征方程是一个多项式方程，其解可能是实数或复数。在实数域中，正交矩阵的特征方程总是有实数解，因此其特征值都是实数。但在复数域中，特征方程可能有复数解，因此特征值可能是复数。
所以，正交变换不一定有实特征值，这取决于我们是否将其扩展到复数域。