整式的乘法
教学内容:
单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式乘法
技能要求：
掌握单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，并能运用它们进行运算。
学习指导
1．单项式乘法：
利用乘法交换律和乘法结合律再用同底数幂的乘法法则可完成单项式乘法。对于法则不要死记硬背，但要注意以下几点：
①积的系数等于各单项式的系数的积，应先确定符号后计算绝对值。
②相同字母因数相乘，是同底数幂的乘法。
③要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢掉。
④单项式乘以单项式的结果仍是一个单项式。
⑤字母因式的底也可以是一个多项式，如：-2a(x+y)2·4ab2(x+y)3=-8a2b2(x+y)5
⑥单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘也适用。例如： ab2(-2a2b)(-4abc)= a4b4c
例1．计算：①(-3a2b)(- a2c2)·4c3 ② -3(a-b)2[2(a-b)3][ (a-b)]
解：①(-3a2b)(- a2c2)·4c3 分析：不要将b的这个因式丢掉
=[(-3)×(- )×4]a2+2bc2+3
=6a4bc5
② -3(a-b)2[2(a-b)3][ (a-b)] 分析：将(a-b)看作底数，仍用
=[(-3)×2× ] (a-b)2+3+1 单项式乘法法则来作。
=-4(a-b)6
例2．计算(-3×106)·(-2×104)·(-5×105)
解：(-3×106)(-2×104)(-5×105) 分析：①可用单项式乘法法则
=[(-3)(-2)(-5)]·106+4+5 来作
=-30×1015
=-3×1016 ②用含10的幂记数将
-30×1015写成-3×1016
例3．计算am+5bn+1·a-m+6bn-1
解：am+5bn+1·a-m+6bn-1 分析：无论指数多繁杂同底幂结合
=(am+5·a-m+6)(bn+1·bn-1) 是关键。
=am+5-m+6 bn+1+n-1
=a11b2n
例4．计算(ab3)n·(ab3)4-n
解法（一）：(ab3)n·(ab3)4-n 分析：①依照一般运算顺序、计算
=an(b3)n·a4-n(b3)4-n ②先做乘方，再做乘法。
=anb3n·a4-nb12-3n
=an·a4-n b3n·b12-3n
=an+4-nb3n+12-3n
=a4b12
解法（二）：(ab3)n·(ab3)4-n 分析：①运用换元思想使运算过程
=(ab3)n+4-n 大为简化。即将ab3看成一个底数
=(ab3)4 再运用同底数幂的乘法法则计算
=a4b12
例5．计算(a2b4)m(ab4)2-m
解法（一）：(a2b4)m(ab4)2-m 分析：①先变形：(a2b4)m=am·(ab4)m
=(a·ab4)m·(ab4)2-m ②后用换元思想将ab4看成
=am·(ab4)m·(ab4)2-m 一个底数用同底数幂乘法法则
=am(ab4)m+2-m ③最后再用单项式乘法法则
=am(ab4)2
=am·a2b8
=am+2b8
解法（二）：(a2b4)m·(ab4)2-m
=(a2)m(b4)m·a2-m(b4)2-m 分析：①依照一般运算顺序先
=a2mb4m·a2-mb8-4m 做积的乘方再做单项式乘法
=(a2m·a2-m)(b4m·b8-4m) ②不换元反而简便。所以解题
=a2m+2-mb4m+8-4m 前要就题取法。
=am+2b8
通过前边几例的解法对比，目的在于培养我们自觉地分析例题特点，采取合理的简捷的方法，就题取法也是一种解题能力，只有通过解题中自我体会，不要造题型，这样才能提高我们观察思维的能力。
例6．计算(-1)2k+1·(- )2k
解：(-1)2k+1·(- )2k 分析：①(-1)的奇次幂是-1
=(-1)·[(- )2]k （-1）的偶次幂是+1
=-1·( )k ②利用amn (am)n将(- )2k
=-( )k = 变形(- )2k=[(- )2]k=( )k
例7．计算① (32)10+(92)5 ② [(23)6]3+[(83)2]3
①解法（一）：(32)10+(92)5 分析：利用“化归”思想将两项
=320+910 都化成以3为底数的幂，再合并
=320+(32)10 同类项。
=320+320
=2×320
解法（二）：(32)10+(92)5 分析：利用“化归”思想将两项
=910+910 都化成以9为底数的幂，再合并
=2×910 同类项。
②解法（一）[(23)6]3+[(83)2]3
=(86)3+(86)3 分析：利用“化归”思想将两项
=818+818 都化成以8为底数的幂
=2×818
解法（二）[(23)6]3+[(83)2]3
=23×6×3+83×2×3 分析：将两项都化为以2为底的幂
=254+818
=254+(23)18
=254+254
=2×254
=255
由以上四例解法可以看出，在幂的运算中，把不同底数幂化为同底数幂，以便于应用同底数幂的运算性质来处理，这是化简计算结果的一个重要环节。
2．单项式与多项式相乘
（1）单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即：m(a+b+c)=ma+mb+mc，实际上就是根据乘法对加法的分配律来进行计算。也就是将单项式与多项式相乘转化为若干组单项式与单项式的乘法运算。
（2）单项式与多项式相乘的积仍是一个多项式，而且积的项数和乘式中的多项式的项数相同，在运算过程中不要漏乘造成漏项。
（3）运算时要注意符号，因为多项式由若干个单项式组成，其中每一个单项式都包括前面的符号，因此要注意确定积中每一项的符号。
（4）最后结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。
例8. 计算 (1) ab(- a2b+ b-3ab) (2) [6xy-3(xy- x2y)]·3xy
解: (1) ab(- a2b+ b-3ab) 分析：
= ab(- a2b)+ ab( b)+ ab(-3ab) (1)利用法则转化成三组
=- a3b2+ab2-2a2b2 单项式乘法的代数和
=- a3b2-2a2b2+ab2 (2) 计算时注意确定符号
(3)按字母a的降幂排列
解：(2) [6xy-3(xy- x2y)]·3xy
=[6xy-3xy+ x2y]·3xy
=[3xy+ x2y] ·3xy
=3xy(3xy)+3xy( x2y)
=9x2y2+ x3y2
分析： (1)计算这种多层括号的题，一般从里往外去括号。去括号时注意括号前面是“-”号时，把“-”号和括号去掉时，括号内每一项都要变号
(2)有同类项时注意要随时合并同类项。
例9．化简求值：(3x2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7) , 其中x= - .
解：(3x2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7)
=9x4-2x3-2x2-3x3+21x
=9x4-5x3-2x2+21x
∴ 当x=- 时
原式=9(- )4-5(- )3-2(- )2+21(- )
=9× + - -
=1 -11
=-9 .
分析：先将原式化成最简形式按某一字母降幂（或升幂）排列再求值计算。
* 3．多项式与多项式相乘
（1）多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可。例如(a+b)(c+d)可以将(a+b)看成单项式转化为单项式乘以多项式法则去计算。
如： =(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd.
（2）为避免丢项，也可以用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在没有合并同类项之前，积的项数等于这两个多项式项数之积。
如： = ac+bc+ad+bd.项数为2×2=4项。
（3）对于型如(x+a)(x+b)的积要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab, 这就是说，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式。
例10．计算：( a- b)( a+ b)
解：( a- b)( a+ b)
= a· a+ a· b- b· a- b· b
= a2+ ab- ab- b2
= a2- ab- b2
分析：(1)用法则展开，化为四组单项式乘法的代数和
(2)合并同类项
例11．化简求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17) ，其中 x=5 .
解：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17)
=x2+(2-3)x+(2)(-3)-2[x2+(-6+5)x+(-6)(5)]-(3x2-15x+51)
=x2-x-6-2x2+2x+60-3x2+15x-51
=-4x2+16x+3
∴ 当x=5 时, 原式= -4( )2+16( )+3=-30.
例12．计算 ：(3x3-2-5x)(6-7x+2x2)
解法（一）: (3x3-2-5x)(6-7x+2x2)
=(3x3)(6)+(3x3)(-7x)+(3x3)(2x2)+(-2)(6)+(-2)(-7x)+(-2)(2x2)
+(-5x)(6)+(-5x)(-7x)+(-5x)(2x2)
=18x3-21x4+6x5-12+14x-4x2-30x+35x2-10x3
=6x5-21x4+8x3+31x2-16x-12
在多项式乘法里像例20这样的两个因式的项数都比较多时，横式的写法在合并同类项时，容易搞错，我们也可以像算术里做多位数乘法一样用竖式的写法来进行演算。
∴ (3x3-2-5x)(6-7x+2x2)=6x5-21x4+8x3+31x2-16x-12
六．整式乘法运算的有关应用
1.简化数字计算 2.化简求值
3.证明等式 4.解方程和不等式
例13．把下列各式化成(a-b)p的形式：
(1) 15(a-b)3[-6(a-b)q+5](b-a)2÷45(b-a)5
(2) (a-b)(b-a)4(b-a)p+q+1÷(a-b)3
分析：底数a-b与b-a的幂相乘（除），实质上可以很方便地化为同底数幂相乘（除），要注意：
a-b=-(b-a), (a-b)2=(b-a)2
(a-b)3=-(b-a)3, (a-b)4=(b-a)4
(a-b)2p-1=-(b-a)2p-1 (p为正整数)
(a-b)2p=(b-a)2p (p为正整数)
解：(1)15(a-b)3[-6(a-b)q+5](b-a)2÷45(b-a)5
=-15×6× (a-b)3(a-b)q+5(a-b)2÷[-(a-b)5]
=2(a-b)3+q+5+2-5
=2(a-b)5+q
(2) (a-b)(b-a)4(b-a)p+q+1÷(a-b)3
=(a-b)(a-b)4[-(a-b)]p+q+1÷(a-b)3
=(-1)p+q+1(a-b)1+4+p+q+1-3
=(-1) p+q+1(a-b)p+q+3
注意：(-1)p+q+1的计算没有最后确定，因为p,q的值与1的关系没有确定。因此(-1)p+q+1不能确定是-1还是+1，因此就用(-1) p+q+1表示即可。
例14．计算
(1) [4(a+b)2]3·[-2(a+b)3]2
(2) xn-5·(xn+1·y3m-2)2-(xn-1ym-2)3·(-y3m+2)
解：(1)原式=43(a+b)6·(-2)2(a+b)6
=43×4(a+b)6+6
=256(a+b)12
(2)原式=xn-5·x2(n+1)·y2(3m-2)-x3(n-1)y3(m-2)·(-y3m+2)
=xn-5·x2n+2·y6m-4-x3n-3y3m-6(-y3m+2)
=xn-5+2n+2y6m-4+x3n-3y3m-6+3m+2
=x3n-3y6m-4+x3n-3y6m-4
=2x3n-3y6m-4
例15．（1）化简 (a2b6)n+3(-ab3)2n+2(-anb3n)2 (n为正整数)
（2）计算：(- xy2z)2(- xyz2)3(-6x2y2)2
解：(1)原式=a2nb6n+3a2nb6n+2a2nb6n
=(1+3+2)a2nb6n
=6a2nb6n
(2)原式=(-1)2+3+2·( )2·( )3·(6)2·x2+3+4·y4+3+4·z2+6
=(-1)7( × ×6)2· x9y11z8
=- x9y11z8.
例16．用简便方法计算：(1) (-9)3·(- )3·( )3 (2) [( )2]3·(23)3
分析：本题逆用积的乘方公式，即同底指数的若干个幂的积等于它们底数乘积之幂。ambmcm=(abc)m
解：(1) (-9)3·(- )3·( )3
=[(-9)( - )( )]3
=(9× × )3=23=8
(2) [( )2]3·(23)3
=[( )2·(23)]3=[ ·8]3=23=8。
例17．解下列各题：
(1) 如果2·8n·16n=222, 求n的值。
(2) 如果(9n)2=38, 求n的值。
分析：依据相等的2个幂，如其底数相同，则其指数相等的原理解方程。
解：(1) ∵ 2·8n·16n=222
又∵ 左边=2·8n·16n=2·(23)n·(24)n=2·23n·24n=21+3n+4n =21+7n
∴ 21+7n=222, ∴ 1+7n=22
∴ n= =3
(2) ∵ (9n)2=38
法（一）又∵ (9n)2=92n, 38=(32)4=94
∴ 92n=94, ∴ 2n=4, ∴ n=2.
法（二）∵ (9n)2=92n=(32)2n=34n
∴ 34n=38, ∴ 4n=8, ∴ n=2.
例18．如图，求图形中阴影部分面积。
解法（一） 将原图形补成矩形，
则S阴影=S总矩形-S1
=ab-mn
解法（二） 将原图形分割成2个矩形之和，
则S阴影=S2+S3
∴ S阴影=n(b-m)+b(a-n)
=nb-mn+ab-nb
=ab-mn.
例19．计算：8x2-(x-2)(3x+1)-2(x+1)(x-5)
解法（一）:原式=8x2+(-1)(x-2)(3x+1)+(-2)(x+1)(x-5)
=8x2+(-1)( 3x2-5x-2)+(-2)(x2-4x-5)
=8x2+(-3x2+5x+2)+(-2x2+8x+10)
=8x2-3x2+5x+2-2x2+8x+10
=3x2+13x+12
解法（二）：原式=8x2+(-1)(x-2)(3x+1)+(-2)(x+1)(x-5)
=8x2+(-x+2)(3x+1)+(-2x-2)(x-5)
=8x2+(-3x2+5x+2)+(-2x2+8x+10)
=8x2-3x2+5x+2-2x2+8x+10
=3x2+13x+12
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