高等代数题目:证明矩阵方程ABX=A有解的充要条件是rank(AB)=rank(A)？

如题所述

第1个回答 2020-04-03

必要性：ABX=A有解说明A的列向量组可以用AB的列向量组线性表出，于是r(A)<=r(AB)。而根据公式r(AB)<=min{r(A), r(B)}又得到r(AB)<=r(A)，因此r(AB)=r(A)。
充分性：设R(·)表示列空间。显然R(AB)包含于R(A)，而r(AB)=r(A)即是说dim R(AB) = dim R(A)，因此R(AB)=R(A)。因为A的列向量都在R(A)内，即都在R(AB)内，所以A的列向量组必可由AB的列向量组线性表出，即存在矩阵X使得ABX=A。本回答被网友采纳

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