∫1/√（x²-a²）dx=ln|x/a+√（x²-a²）/a|+C。具体解题过程如下：
解：令x=asect，x
∫1/√（x²-a²）dx=∫1/√（（asect）²-a²）dasect
=∫1/√a²（（sect）²-1）dasect
=∫1/√（（sect）²-1）dsect
=∫1/√tant²dsect
=∫1/tantdsect
=∫sectdt
=ln|sect+tant|+C
因为sect=x/a，则tant=√（x²-a²）/a
则∫1/√（x²-a²）dx=ln|sect+tant|+C=ln|x/a+√（x²-a²）/a|+C
扩展资料：
积分的求解：F（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。
积分计算需要积分表，可根据被积函数的类型，在积分表内查得其结果，有时还要经过简单变形才能在表内查得所需的结果。
常见的积分表公式有：∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫secx²dx=tanx+C、∫secxdx=ln|secx+tanx|+C、∫secxtanxdx=secx+C、∫1/（ax+b）dx=1/aln|ax+b|+C、∫1/（x²+a²）dx=1/a*arctan（x/a）+C、∫1/√（x²-a²）dx=ln|sect+tant|+C。
例题：∫5cosxdx=1/5*sinx+C、∫4secx²dx=1/4tanx+C。
参考资料来源：百度百科-积分公式
参考资料来源：百度百科-导数表
想问一下倒数第二步到最后一步是为什么？
追答通分之后，变成对数的差，lna是常数，它和C1合并成了C
本回答被提问者采纳方法1
如上图 ，令x=asect 则sect = x/a , tant = √(x²-a²)/a
∫1/√（x²-a²）dx=∫1/√（（asect）²-a²）dasect
=∫(a*sect*tant)/√a²（（sect)²-1）dt
=∫(sect*tant)/√（(sin²t+cos²t)/cos²t - cos²t/cos²t）dt
=∫(sect*tant)/√tant²dsect
=∫sectdt 公式∫sect dt = ln|sect+tant|+c
=∫1/cost dt = ∫1/sin(t+PI/2)d(t+PI/2) 令k = t+PI/2
=∫1/sink dk = ∫1/(2sin(k/2)*cos(k/2)) dk = ∫1/tan(k/2)*cos²(k/2) d(k/2)
=∫sec²(k/2)/tan(k/2) d(k/2) 公式∫sec²t dt = tant+c
=∫1/tan(k/2) dtan(k/2) 公式∫1/t dt = ln|t|+c
=ln|tan(k/2)|+c 注解tanx=sinx/cosx= 2sin²x/(2cosx*sinx) = (1-cos2x)/sin2x
=ln|1/sin(t+PI/2)-cos(t+PI/2)/sin(t+PI/2)|+c
=ln|1/cost+sint/cost|+c
=ln|sect+tant|+c
=ln|x/a+√(x²-a²)/a|+c
=ln|x+√(x²-a²)|-lna+c 因为c为一个任意常量，加减任何一个常熟还是不改变c的常量性质，所以可以将lna省略掉
=ln|x+√(x²-a²)|+c
方法2：
如上图 ，令x=acsct 则csct = x/a , cott = √(x²-a²)/a
∫1/√（x²-a²）dx=∫1/√（（acsct）²-a²）dacsct
=∫(-a*csct*cott)/√a²（（csct)²-1）dt
=-∫(csct*cott)/√cott²dsect
=-∫csctdt 公式∫csct dt = ln|csct-cott|+c
=-ln|x/a-√(x²-a²)/a|+c
=-ln|x-√(x²-a²)|+c
ln|x+√(x²-a²)| 与 -ln|x-√(x²-a²)| 的倒数都是1/√(x²-a²) 两者相差ln|a²|
证明 令 y = ln|x+√(x²-a²)| - (-ln|x-√(x²-a²)|)
则 y = ln|(x+√(x²-a²))*(x-√(x²-a²))| = ln|a²|
可以到这个网站去查询函数的倒数，按如下方法输入
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