小女子在预习数学时，遇到一些不懂得题目，请各位高手帮忙解答一下。急急急急急急

Question

求椭圆的标准方程
1.经过点P(-3,0),Q（0，-2）
2.长轴在y轴上，准线间距离为36，椭圆上一点到两焦点的距离分别为9和15
3.与椭圆x的平方+3y的平方=24有相同的焦点，长短轴长之和为16
4.两准线间距离为4，短半轴长为1
（请各位数学高手指导一下小女子，每一步要有过程。谢谢。万分感激）

Answer 1

（x^2表示x的平方）
因为当焦点在x轴上时椭圆的标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1。
当焦点在y轴上时，方程为y^2/a^2+x^2/b^2=1
其中a为长轴，b为短轴
所以1、解：当焦点在x轴上时，设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
由于椭圆经过P（-3，0）、Q（0，-2）
所以代入方程，得方程组
(-3)^2/a^2+0^2/b^2=1
0^2/a^2+(-2)^2/b^2=1
解得：
a^2=9,b^2=4
所以方程为，x^2/9+y^2/4=1
当焦点在y轴上时，设椭圆方程为y^2/a^2+x^2/b^2=1
将P、Q代入方程，得方程组
0^2/a^2+(-3)^2/b^2=1
(-2)^2/a^2+0^2/b^2=1
解得a=4，b=9
因为a<b，所以不成立，所以椭圆方程为x^2/9+y^2/4=1

2、解：因为椭圆长轴在y轴上，所以设椭圆方程为y^2/a^2+x^2/b^2=1
因为椭圆准线方程为 y=a^2/c 和 y=-a^2/c
又因为 准线间距离为36，即两条准线距离x轴得值的绝对值之和为36，所以可得
y+y=a^2/c+a^2/c=36
a^2/c = 18
因为椭圆上一点到两焦点的距离分别为9和15
根据椭圆上任意点到焦点的距离和为2a，可得
│PF1│+│PF2│=2a
9+15=2a
所以a=12，a^2=144
c=a^2/18=8
因为a^2=b^2+c^2
所以b^2=a^2-c^2= 144-64=80
所以椭圆方程为 y^2/144+x^2/80=1

3、解：将x^2+3y^2=24标准化，即得x^2/24+y^2/8=1
可见其焦点在x轴上，
所以a^2=24，b^2=8
c^2=a^2-b^2=24-8=16
所以椭圆焦点为（-4，0）（4，0）
因为2a+2b=16,所以a=18-b
又因为c=4
所以a^2-b^2=c^2
(8-b)^2-b^2=16
8^2-16b+b^2-b^2=16
64-16b=16
b=3,b^2=9
所以a=8-b=5，a^2=25
所以椭圆方程为x^2/25+y^2/9=1

4、解：按照第一题的思想，因为两准线间距离为4
所以2（a^2/c）=4
a^2=2c
因为b=1.所以a^2-b^2=c^2
2c-1=c^2
c^2-2c+1=0
(c-1)^2=0
c=1
所以a^2=2
所以，当椭圆焦点在x轴上时，方程为x^2/2+y^2=1

当椭圆焦点在y轴上时，方程为y^2/2+x^2=1