若无穷数列的极限为a，证明该数列的无穷子列的极限也是a

Question

若无穷数列的极限为a，证明该数列的无穷子列的极限也是a如何证明？

Answer 1

利用极限的几何意义,如果对於任意E>0,一个数列{xn}在开区间(a-E,a+E)之外只有有限项,而剩馀的项全部在开区间内,则{xn}收敛于a.
设{xnk}是{xn}的一个子列,则有nk≥n
∵lim(n→∞)xn=a,根据几何意义,对任意E>0,开区间(a-E,a+E)外只有{xn}的有限项.我设这有限项中,下标最大的一项为N,那麼当n>N时,{xn}的所有项将落在(a-E,a+E)之内.
又∵nk≥n,∴当n>N时,更有nk>N,而xnk是子列的第k项,取K=N,则当k>K时,即从第K+1项开始,子列{xnk}的所有项将落在开区间(a-E,a+E)之内,这样也就得到了子列收敛于a追问

谢谢