如图,在⊿ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线交BC于D,交AB于点E,F在DE上,并且AF=CE。 (1)求证:四边形ACEF是平行四边形;(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?请证明你的结论;(3)四边形ACEF有可能是矩形吗?为什么?
(1)证明:∵ED是BC的垂直平分线,
∴EB=EC.
∴∠3=∠4.
∵∠ACB=90°,
∴∠2与∠4互余,∠1与∠3互余,
∴∠1=∠2.
∴AE=CE.
又∵AF=CE,
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形.
∴AF=AE,
∴∠F=∠5,
∵FD⊥BC,AC⊥BC,
∴AC∥FE.
∴∠1=∠5.
∴∠1=∠2=∠F=∠5,
∴∠AEC=∠EAF.
∴AF∥CE.
∴四边形ACEF是平行四边形.
(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.证明如下:
∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴∠1=∠2=60°.
∴△EAC为等边三角形,
∴AC=EC.
∴平行四边形ACEF是菱形.
(3)四边形ACEF不可能是矩形.理由如下:
由(1)可知,∠2与∠3互余,
∠3≠0°,∴∠2≠90°.
∴四边形ACEF不可能是矩形.
解:(1)由DE是△ABC的中垂线知,DE也是△ABC的中位线 ∴CE=EB=AE=AF ∴∠1=∠5=∠2=∠F ∴△AFE≌△ACE ∴四边形ACEF是平行四边形; (2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形 ∵∠B=30°时,∠1=60° ∴△ACE是等边三角形 ∴四边形ACEF是菱形; (3)不能;当四边形ACEF是矩形时,∠1=∠2=90°,这是不可能的。 |