我举两个例子针对第一类间断点的；两种情况：
一.设原函数为y=|x|,x≠0，那么这个函数的导函数是否是y=1（x>0）或y=-1(x<0)？
这是针对跳跃间断点的，很多人用Darboux定理解释，但是这个定理的条件是在一个闭区间[a,b]可导，
那如题我是定义在两个区间下的函数（-∞，0）∪（0，+∞），那这个不是跳跃了吗？
所以导函数没有第一类间断点这个说法是只针对一个闭区间的吗？
二.设原函数为y=x,x≠0，原函数在x=0这个点不可导，因为连定义都没有，那导函数不就是y=1（x≠0）而且在x=0上也没定义吗，那不就满足了①.lim（x->0）f ‘(x)（导函数）存在（即导函数在0这一点有左右极限相等）②.导函数在x=0这一点无定义。
所以导函数有了可去间断点吗？
一个人想总是觉得不解，还是求大神帮我解惑。
你那是导数不存在的情况下，而当导数存在，才有左右极限要么相等，要么至少有一个不存在(第二类)。当导数在x0处不存在时也可以有第一类的，但是定义域不包括x0。
在第一类间断点中，有两种情况，左右极限存在是前提。左右极限相等，但不等于该点函数值f(x0)或者该点无定义时，称为可去间断点，如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处；左右极限在该点不相等时，称为跳跃间断点，如函数y=|x|/x在x=0处。
连续与非连续的定义
设函数 y=f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果函数 f(x) 当 x→x0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 limf(x)=f(x0)（x→x0），那么就称函数 f(x) 在点 x0 处 连续。
不连续情形：
1、在点x=x0没有定义；
2、虽在x=x0有定义但lim（x→x0）f(x)不存在；
3、虽在x=x0有定义且limf(x)（x→x0）存在，但lim f(x) ≠f(x0)（x→x0）时则称函数在x0处不连续或间断。
在第一类间断点中，有两种情况，左右极限存在是前提。左右极限相等，但不等于该点函数值f(x0)或者该点无定义时，称为可去间断点，如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处；左右极限在该点不相等时，称为跳跃间断点，如函数y=|x|/x在x=0处。
连续与非连续的定义
设函数 y=f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果函数 f(x) 当 x→x0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 limf(x)=f(x0)（x→x0），那么就称函数 f(x) 在点 x0 处 连续。
可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
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