群论里面的核是什么？

Question

如题所述

Answer 1

群论里面的核一般是指群同态的核：给定群同态ψ：G→G1，定义集合kerψ={g∈G | ψ(g)=e1}，其中e1为群G1的单位元，则称集合kerψ为这个群同态ψ的核；
群作用的核是指该群作用诱导的群同态的核：设f：G×X→X为群作用，即f为群G对集合X的群作用，则它可对应一个群同态ψ：G→S(X)，g┝→f(g，·)，其中S(X)为集合X上的全变换群，于是kerψ也称为该群作用f的核；
题主例子即为群G对其自身的共轭作用，此时它的核即为kerψ={g∈G | ψ(g)=id}，其中id为S(G)的单位元，即G到G自身的恒等映射，由于ψ(g)=id <=> 对任意x∈G，ψ(g)(x)=f(g,x)=gxg^-1=id(x)=x <=> 对任意x∈G，gx=xg，这即是说g能与群G的任意元素交换，并且kerψ是G中这样的元素g的全体，按照群G中心Z(G)的定义，这即是kerψ=Z(G).