高数：数列的极限，请问这一步等价不穷小替换怎么来的？

Question

如题所述

Answer 1

其实是泰勒公式。

麦克劳林展开式乘法天下第一先写别问唉。

。数字帝国GG泛滥但是是一个计算器网页。

可以用省略号替代高阶无穷小量。

整体法等价无穷小逆向思维双向思维。

洛必达法则。换元法。

其中对数是logarithm的LNX，

不是inx。

Answer 2

来自ln(1+x)与x等阶。而这个x在你这里就是ln[1+这砣东西]。不要因为这砣东西太大太复杂就忘了它的实质。本回答被网友采纳

Answer 3

反套用了ln(1+x)~x的近似公式

Answer 4

题中的详细过程是，视“e(1+1/n)^(-n)”为整体，且lim(n→∞)[e(1+1/n)^(-n)]=1。∴n→∞时，[e(1+1/n)^(-n)]-1→0。再视“[e(1+1/n)^(-n)]-1”为整体。
考虑出现了e和(1+1/n)^(-n)，取“x→0时，ln(1+x)~x”的等价无穷小量替换式而得。
另外，图片上的解法太过“繁琐”。分享一种“简捷”的解法。∵x→0时，ln(1+x)=x+O(x)=x-x²/2+O(x²)=……，∴x，x-x²/2，…，均为ln(1+x)的等价无穷小量表达式。
本题中，1/n→0，∴(1+1/n)^(-n)=e^[-nln(1+1/n)]。而，ln(1+1/n)~1/n-1/(2n²)，
∴e^[-nln(1+1/n)]~e^[-1+1/(2n)]~(1/e)[1+1/(2n)]。∴原式=lim(n→∞)n[1+1/(2n)-1]=1/2。
供参考。