常微分方程课程笔记（二）欧拉数值法及其推广

Question

如题所述

Answer 1

本文主要探讨了欧拉数值法在常微分方程求解中的应用及其误差分析。欧拉方法通过在[公式]轴上按间隔[公式]取点，利用线性近似得到积分曲线的近似。然而，这种方法的精度受[公式]的凸凹性影响，凸函数的近似值偏低，凹函数偏高。误差分析指出，斜率变化大的情况下，欧拉方法误差较大，需要通过修正或更高级的算法如龙格-库塔方法(RK2和RK4)来提高精度。

修正欧拉方法，即Heun's method或Modified Euler method，通过考虑区间的两个端点斜率，可以减小单次迭代的误差。例如，在步长为[公式]时，迭代公式变为[公式]，这种方法证明了是二阶的。RK4作为标准方法，通过计算四个点的加权平均，进一步提高了精度。

在实际应用中，如微分方程[公式]的计算中，欧拉方法与RK2有相似性，但当斜率变化大时，RK4表现更优。然而，数值计算要注意避免奇异点，这些点在微分方程中无法直观看出，如[公式]的解[公式]存在奇点[公式][公式]。