设0＜X1＜1，Xn 1=2Xn-Xn^2，证明limXn存在并求出极限：
先假设极限存在，设为x，则x=3+4/x，所以x=4，舍去x=-1。
由归纳法知x[n]>0。
进而x[n]>3(n>1)|x[n+1]-4|=|4/x[n]-1|。
=|4-x[n]|/|x[n]|1)。
所以lim(n→∞)|x[n]-4|=0即∫lim(n→∞)x[n]=4。
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
（5）广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限，等等。