1-矩阵的四大基本空间

Question

如题所述

Answer 1

矩阵的四大基本空间，包括行空间、列空间、左零空间和右零空间，它们是矩阵理论中的核心概念。这些空间由矩阵的不同特征定义:

1. 列空间与秩
列空间由矩阵的列向量构成，其维数等于矩阵的秩r。如果b在A的列空间内，表示方程Ax=b有解；反之，无解。线性方程组有解的条件是系数矩阵秩等于增广矩阵秩。

2. 右零空间与秩
右零空间（或零空间）是齐次线性方程组解的集合。秩满秩时，零空间维数为0；秩不足时，非零解构成维数为n-r的空间。零空间的维数等于列数n与秩r的差。

3. 行空间与左零空间
行空间是矩阵行向量张成的空间，其维数与列空间相同。左零空间则是矩阵转置的右零空间，其维数为m-r，m为矩阵行数。

4. 正交关系
行空间的正交补是零空间，列空间的正交补是左零空间。矩阵映射中，这些关系有助于理解矩阵变换的性质。

对称矩阵的特性
对称矩阵的列空间和零空间相互正交，行空间和左零空间也正交，这是由于对称矩阵的特殊性质，即幂等矩阵的对称性与正交投影的关系。

通过深入理解这些空间，我们可以更好地分析矩阵的运算和性质。下次我们将从空间变换的角度重新审视矩阵的逆运算。