1.当x,y异号时,x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy>=0,
在x=y=0时等号成立,取最小值0;
当x,y同号时,x^2+xy+y^2=(x-y)^2+3xy>=0
在x=y=0时等号成立,取最小值0.
综上,x^2+xy+y^2的最小值为0,当x=y=0时取得。
2.引理 设x,y为正整数,且x+y=C,C为给定的正整数,则x^2+y^2在x,y取1和C-1 时取的最大值。
证:假设x=m,n=y,m.n为正整数,且2=<m=<n<=C-2时x^2+y^2取最大值
则(m-1)^2+(n+1)^2=m^2+n^2+2+2(n-m)>m^2+n^2 与假设矛盾,
所以x,y在取1和C-1时x^2+y^2取最大值。
由引理 当x1,x2,...,x19其中18个取1一个取77时有最大值18+77^2=5947
若不然,不妨假设(x1,x2,...,x19)=(a1,a2,...,a19)时取的最大值,其中
2=<a1=<a2=<76,由引理
(a1-1)^2+(a2+1)^2+a3^2+...+a19^2>a1^2+a2^2+...+a19^2
与假设矛盾。
所以 当x1,x2,...,x19其中18个取1一个取77时x1^2+x2^2+...+x19^2取最大值18+77^2=5947。
3. 学过导数,可直接求导y'=-1+2x/√(x^2+9)
令y’=0解得x=√3,当x<√3时y'<0,函数单调减少;当x>√3时y'>0,函数单调增加,所以函数有最小值,当x=√3时取得y=4+3√3
若没学过导数,由y=(4-x)+2√(x^2+9)=4+2√(x^2+9)-x求最值转化为求
2√(x^2+9)-x的最值问题。
令2√(x^2+9)-x=a(显然a>0,分x小于0、等于0、大于0讨论即可得出)
移项后平方得4x^2+36=x^2+2ax+a^2
把含x的项移到等式左端,然后配平方得到3(x-a/3)^2+36=4a^2/3
所以4a^2/3=<36,结合a>0解得a>=3√3,当x=a/3=√3时取等号
及x=√3时2√(x^2+9)-x有最小值3√3,
y=(4-x)+2√(x^2+9)=4+2√(x^2+9)-x有最小值4+3√3。
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