二次型正定的充要条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

二次型正定的充要条件：元实二次型f(z)= a" Aa正定的充要条件是它的标准形的n个系数全为正，即它的正惯性指数”p=n”。

判定二次型(或对称矩阵)为正定的方法有如下两种：

行列式法：

对于给定的二次型f (x ,x),.…. ,X,)= XTAX，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型(或对称矩阵)的正定性。

正惯性指数法：

对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。