设函数f（x）=2cos²x+2√3sinxcosx （1）求f（x）的最小正周期及单调增区间 （

Question

设函数f（x）=2cos²x+2√3sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间
（2）当x∈[－5π/12，π/12]时，求f（x）的值域
（3）若f（x）=5/3，-π/6<x<π/6，求sin2x的值

Answer 1

（1）
f（x）=2cos²x+2√3sinxcosx

=1+cos2x+√3sin2x
=2(√3/2sin2x+1/2cos2x)+1
=2sin(2x+π/6)+1
f(x)最小正周期T=2π/2=π
由2kπ-π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2,k∈Z
得kπ-π/3≤x≤kπ+π/6,k∈Z
∴f(x)递增区间为[kπ-π/3,kπ+π/6],k∈Z
(2)
∵x∈[－5π/12，π/12]

∴2x∈[－5π/6，π/6]
2x+π/6∈[－2π/3，π/3]
∴-1≤sin(2x+π/6)≤√3/2
∴-2≤2sin(2x+π/6)≤√3
那么-1≤f(x)≤1+√3
即f(x)的值域为[-1,1+√3]
(3)

∵-π/6<x<π/6

∴-π/6<2x+π/6<π/2
∵f(x)=5/3
即sin(2x+π/6)=1/3
∴cos(2x+π/6)=√[1-sin^2(2x+π/6)]=2√2/3
∴sin2x=sin[(2x+π/6)-π/6]
=sin(2x+π/6)cosπ/6-cos(2x+π/6)sinπ/6
=1/3*√3/2-2√2/3*1/2
=(√3-2√2)/6