负二项分布的正则性，期望，方差的证明

Question

如题所述

Answer 1

解题过程如下图：

负二项分布是统计学上一种离散概率分布。满足以下条件的称为负二项分布：实验包含一系列独立的实验， 每个实验都有成功、失败两种结果，成功的概率是恒定的，实验持续到r次成功，r为正整数。

扩展资料

在r为整数的特定情况下，负二项分布也可以称作帕斯卡分布。它是在独立重复的伯努利实验中成功和失败的数目的概率分布。因为k+r次概率为p的成功的伯努利实验可以得到最后一次为失败的k次成功和r次失败的概率。

换句话说，负二项分布为成功概率为p的伯努利过程中第r次失败前的成功次数的概率分布。一个伯努利过程是离散的过程。因此，实验次数，失败、成功次数都是整数。

Answer 2

　　1、二项分布数学期望Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)
　　=n*p*(p+q)^(n-1)
　　=n*p，
　　方差Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
　　=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ) － n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1) *q^(n-ξ) － n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ ，n}＋C{ξ ，n}*q)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ ，n}*q－(C{ξ ，n}－C{ξ-1，n-1})]
　　=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]
　　=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]
　　=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－
　　∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]
　　=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]
　　=n*p*[n*q－(n-1)*q]
　　=n*p*q，其中p为单次事件发生的概率，q=1-p。
　　2、二项分布的概念：在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。本回答被网友采纳