已知函数f(x)=X²-2ax+a²+1(a∈R),求f(x)在x∈[-1,1]最值

Question

过程要详细

Answer 1

f(x)=X²-2ax+a²+1=（x-a）²+1

① 当a＜-1的时候
当x=-1时取最小值，为（a+1）²+1
当x=1时取最大值，为（a-1）²+1

② 当x∈[-1,0]
当x=a时，取最小值为1
当=1时取最大值，为（a-1）²+1

③ 当x∈[0,1]
当x=a时，取最小值为1
当=-1时取最大值，为（a+1）²+1

④ 当a＞1的时候
当x=-1时取最大值，为（a+1）²+1
当x=1时取最小值，为（a-1）²+1

Answer 2

f(x)=x²-2ax+a²+1，是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，
（1）若a≤-1，则f(x)在[-1，1]上是增函数，
所以最大值为f(1)=a²-2a+2，最小值为f(-1)=a²+2a+2；
（2）若-1<a≤0，则在区间[-1，1]上，x=1离对称轴较远，
从而，最大值为f(1)=a²-2a+2，最小值为f(a)=1;
（3）若0<a≤1，则在区间[-1，1]上，x=-1离对称轴较远，
从而，最大值为f(-1)=a²+2a+2，最小值为f(a)=1;
（4）若a>1，则f(x)在[-1，1]上是减函数，
所以最大值为f(-1)=a²+2a+2，最小值为f(1)=a²-2a+2。

Answer 3

很容易知道这个二次函数对称轴为x=a
讨论就行了
当a∈[-1,1]时最小值就是f(a)=1
最大值要么f(1)要么f(-1)
f(-1)-f(1)=4a
所以当a∈[0,1]时最大值f(-1)=2 + 2 a + a^2
当a∈[-1,0]时最大值f(1)=2 - 2 a + a^2
当a>1时（减函数）
最大值f(-1)结果不写了上面一样
最小值f(1)
当a<-1时（增函数）
最大值f(1)
最小值f(-1)