线性代数,请教,下边的证明怎么有点看不太明白?

Question

如题所述

Answer 1

性质：(AB)^-1=(B^-1)(A^-1), (C^-1)^T=(C^T)^-1
(P^T)(A^-1)P=E两边一起做逆矩阵得出蓝色部分

这个证明可以更简单一些：
A正定 充要条件是所有特征值为正
A^-1的特征值是A的特征值的倒数，也都为正，所以A^-1正定
或者
A正定 充要条件是存在可逆阵C，使得A=(C^T)C
则A^-1={(C^T)C}^-1=(C^-1)(C^T)-1={[(C^-1)^T]^T}{(C^-1)^T}, 所以A^-1正定

Answer 2

证明过程与题目要求不是一回事，它证的是正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
证明：A是正定矩阵，设A的一个特征值是k，特征向量是x，则Ax=kx。所以x'Ax=k(x'x)＞0，因为x≠0，所以x'x＞0，所以k＞0。
所以正定矩阵A的所有特征值都是正数。而则A的行列式|A|是特征值的乘积，所以|A|＞0，所以A可逆。
所以，正定矩阵一定是可逆矩阵。