一道简单的高一数学必修一的题目（请解答有过程） 证明f(x)=x+1/x(x>0) 1. 在（0，1）上是单调减函数，在

Question

一道简单的高一数学必修一的题目（请解答有过程）
证明f(x)=x+1/x(x>0)
1. 在（0，1）上是单调减函数，在【1，＋∞】上是单调增函数。
2. 求f(x)在【1/4，2】上的值域

Answer 1

1。设x1>x2∈I
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-1/x1x2) 为了方便称此式为A
当x1,x2∈(0,1)时，A<0，即f(x)单调递减；
当x1,x2∈【1，＋∞】时，A>0，即f(x)单调递增

2。因为函数单调，
所以x∈(0,1)时，f(x)的值域为（f(x)min,f(x)max）
即：（f(1),f(1/4)）；
同理，x∈【1，＋∞】时，f(x)值域为【f(1),f(2)】

Answer 2

∵f(x)=x+1/x∴f′(x)=1-1/x^2令f′(x)=0则1-1/x^2=0∵x>0∴x=1
∴当x∈（0,1）时f′（x)<0∴f(x)在（0,1）单减，
当x∈[1，+∞）时f′(x)>0∴f(x)在[1，+∞）单增

Answer 3

设x1>x2∈I， 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-1/x1x2) 为了方便称此式为A，当x1,x2∈(0,1)时，A<0，即f(x)单调递减；
当x1,x2∈【1，＋∞】时，A>0，即f(x)单调递增
因为函数单调，
所以x∈(0,1)时，f(x)的值域为（f(x)min,f(x)max）
即：（f(1),f(1/4)）；同理，x∈【1，＋∞】时，f(x)值域为【f(1),f(2)】

Answer 4

用单调性的定义证,即作差法,然后讨论,过程在这个上面不方便打,所以省略