如图，在△ABC中，∠A=60°，△ABC的角平分线BD、CE相交于点O,求证：BE+CD=BC.

Question

1

Answer 1

过O作BC、AB、AC的垂线交于M,N,L(我做的图AB比AC长，你也这么作）。于是只要证明两直角三角形ONE、OLD全等即可：首先直角，其次OL=ON（因为OA也是∠A的角平分线），最后∠ODL=∠NEO（∠ODL=∠A+∠ABD,∠NEO=∠ABD+∠EOB,因为∠EOB=∠OCB+∠OBC=(∠ABC+∠ACB)/2=60°),所以这两个三角形全等，于是EN=DL。因为BN+CL=BC,所以BE+EN+CD-DL=BC

Answer 2

在BC边上取点F，使BF＝BE，连结OF。
∵BD是角平分线，BF＝BE，BO是公共边，
∴△BEO≌△BFO
→∠EOB＝∠FOB＝∠COD
∵∠A＝60°
∠EOB＝∠CBO＋∠BCO，
BD、CE是角平分线
∵∠EOB＝1/2（180°－60°）＝60°
则∠COF＝180°－∠FOB－∠COD＝60°
又∵CE是角平分线，CO是公共边，
∠COF＝∠COD＝60°（已证）
∴△COF≌△COD
→CF＝CD
∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD
问题得证！