标准正态分布的分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)是统计学和概率论中非常重要的概念,用于描述服从标准正态分布的随机变量的概率性质。
标准正态分布是指具有均值为0、标准差为1的正态分布。其概率密度函数为:
f(x) = (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)
其中,x表示随机变量的取值,e是自然对数的底,π是圆周率。标准正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,且对称于均值为0的直线。
标准正态分布的分布函数Φ(x)定义如下:
Φ(x) = ∫(-∞, x) (1/√(2π)) * e^(-t^2/2) dt
即,Φ(x)表示随机变量小于或等于x的概率。也就是说,给定一个实数x,Φ(x)可以计算出标准正态分布中随机变量取值小于或等于x的概率。
由于标准正态分布的分布函数Φ(x)没有一个明确的解析表达式,通常需要通过数值计算或查表的方式获取具体的值。计算软件、统计软件以及标准正态分布表都提供了方便的工具来计算Φ(x)。
标准正态分布的分布函数的性质
1、当x趋近于负无穷时,Φ(x)趋近于0;
2、当x趋近于正无穷时,Φ(x)趋近于1;
3、Φ(0) = 0.5,即标准正态分布的分布函数在均值处取值为0.5;
4、标准正态分布的分布函数是单调递增的,即随着x的增大,Φ(x)也会增大;
5、可以通过标准正态分布表获得Φ(x)对应的近似值。表中给出了一系列标准正态分布的分布函数值。