二重积分，三重积分，第一型曲面积分

Question

学了二重积分,三重积分,第一..二型曲面积分,感觉有点混乱,想知道它们的区别和联系,谢谢

Answer 1

这是大学理工科的高等数学。
一般人真答不上来。
二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim
n→+∞
(n/i=1
∑(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=lim
n→+∞
(∑f(ξi,ηi)Δδi)
三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上,将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=1,2,3,…,n),并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点(ξi,ηi,ζi),作和lim
n→+∞
(n/i=1
∑(ξi,ηi,ζi)Δvi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dv,即
∫∫∫f(x,y,z)dv=lim
n→+∞
(∑f(ξi,ηi,ζi)Δδi)其中dv叫做体积元素。
其中二重积分常用来计算球面积。三重积分常用来计算坐标系投影
设∑为光滑曲面，函数f(x,y,z)在∑上有界，把∑任意地分成n个小曲面ΔS,在每个小曲面ΔSi上任取一点(Xi,Yi,Zi)
作乘积f(Xi,Yi,Zi)dS，并求和∑f(Xi,Yi,Zi)dS
，记λ=max(ΔS的直径)
，
若f(Xi,Yi,Zi)dS当λ→0时的极限存在，且极限值与∑的分法及(Xi,Yi,Zi)在∑上的取法无关，则称极限值为f(x,y,z)在∑上对面积的曲面积分，也叫做第一类曲面积分。即为∫∫f(x,y,z)dS;其中f(x,y,z)叫做被积函数，∑叫做积分曲面